【確率の定義】「同様に確からしい」について考える

今回は、確率に関する話題として「同様に確からしい」なる文言について考えていきます。

中学・高校で学ぶ確率＝古典的確率

早速、議論の対象となる「確率の定義」について整理しておきます。

中学・高校では、起こりうる全事象（標本空間U，要素数N）を考え、その要素（根源事象ω）をランダムに取り出す操作を「試行」と呼びます。

任意の根源事象ωが起こる確率P(ω)というのは、すなわち、ωがUから取り出される確率であり、「同様に確からしい」という仮定の下で、P(ω)=1/Nと定義します。

そして、任意の試行結果（＝事象）は、標本空間Uの部分空間Eで表現されます。取り出されるωがEの要素であれば、「事象Eが起こる」と表現するのです。Eに含まれる根源事象の数（＝Eの要素数）nから、Eが起こる確率P(E)は、P(E)=n/Nで定義されます。

この定義の中で重要なのは、「同様に確からしい」という仮定です。もし、この仮定がなければ、個々の根源事象は異なる確率をもつことになり、事象Eの確率は、単純に要素を数えるだけでは計算できなくなってしまいます。

注）中学・高校では、確率を上記のように定義していますが、実は「同様に確からし」くない根源事象をもつ標本空間について考える問題も存在します。裏表の出る確率が異なるコイン、勝敗の確率に偏りがあるゲーム、などを考えるときです。

この確率の定義は、古典的確率（あるいは、理論的確率、数学的確率）と呼ばれるものになります。

さて今回の議論の的は、確率の定義にあった「同様に確からしい」という言葉です。この言葉、よく考えると（考えなくても）気持ちの悪い表現なのです。

「同様に確からしい」とは、どの根源事象も同程度に起こりやすい（同程度起こると期待される）ということなのですが、それは取りも直さず個々のωが「等確率」で起こるということを意味します。ストレートにそう表現したほうが簡潔で良いと思うのですが、なぜかそうはなっていない。

それは、やはり「確率」を定義するための記述に「等確率」という言葉を含ませてしまっては、循環論法となってしまう問題があるからでしょう。

「同様に確からしい」は確率の定義に不要！

上の注にも述べたように、ある種の試行では、必ずしも「同様に確からしい」なる仮定が成り立たない場合があります。それでもご存じの通り、適当な方法で確率を計算することは可能です。このことから、確率にとって「同様に確からしい」という仮定は必ずしも本質的ではないと予想されます。

それでは、確率の定義をどう修正すればよいでしょうか。結論から言うと、確率は次の2つの性質を満たす"関数"として抽象的に定義し直せます（ここでは、Uを有限集合として、有限加法的な事象Eの確率を考えます）。

1. 任意の事象Eに対してP(E)≧0
2. 互いに交わらないUの部分空間（同時に起こらない事象）E1とE2に対して、P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2)
3. P(U) = 1

このたった3つの条件を満たすPを、確率と定義するのです。この定義は、（根源）事象の起こりやすさについて何も言及していないことに注意してください。

2．では、「同時に起こらない事象たちの和事象を考えるとき、それが起こる確率は、個々の事象が起こる確率の和になる」ということを要請しています。

3．では、「全事象の確率が1である」ことを要請しています。

（Uが無限集合である場合を考慮に入れた確率が、いわゆる公理論的確率というもので、現代的な確率論の出発点になっています。）

上の定義によって、「同様に確からしい」とはどういうことか？といった問いは必要なくなりました。しかし、新たに大きな問題が生じてしまいます。すなわち、具体的に確率を計算するにはどうすればよいのか？という問いです。

私も初めてこの定義に出会ったとき、そのような疑問をもち、こんな定義は不完全じゃないかと思ったものです。

確率の定義と計算を切り離そう

確率を勉強するうちに、果たしてその疑問は解消されたのでしょうか。結論から言えば、解決はしました。そもそも解消する必要がないという形で決着するのです。

そもそも「確率論」というのは、私が当初期待したような（高校までの数学の延長として捉えると当然そう期待すると思いますが）確率を計算するための学問ではなかったのです。

中学、高校で確率を勉強するときには、９割９分「～である確率を求めなさい」という形で問題が与えられます。その延長で確率論を勉強しようとすると、どうしても何か具体的な事象に確率を定めるという作業を想像してしまいます。

現代的な数学の中では、確率論は、事象や確率そのものがもつ性質を突き詰めることを目的とする分野であって、どうやら、具体的に確率をどう決定するかということはその主題ではないらしいのです。

ある試行について考えるとき、実は「確率をどう計算するか」という問題より先に、そもそも「それぞれの事象に確率が存在するのか（定義できるか）」ということを考えねばなりません。高校までは前者が主要な問題であって、後者は考慮する必要がありませんでした。確率論はどちらかと言えば、後者ような問題や、多数の試行を繰り返したときにどのような規則性が現れるのかという問題（大数の法則や極限定理）を考えるような分野だということがわかってきました。

確率の定義に「確率をどう計算するか」ということが示されていないのは、確率論のモチベーションを鑑みれば当然と言えます。

では、何が確率の計算に関する道しるべになるのでしょうか。

個人的な意見ですが、私は統計学こそがその役割を担っているのだと思います。統計的推定や検定といった手法が、具体的に確率を定めるための道具として使われるのです。

最後に、再び「同様に確からしい」という文言について考えてみます。

「等確率」とも換言されるべきこの回りくどい言葉は、具体的計算を切り離して確率を定義することで、無事に消し去ることができます。確率の存在が保証された後で、根源事象に具体的な確率を割り振る際に、その仮定を用いることができるのです。

余談ですが、「等確率」のようなシンプルな仮定は、何らかのモデルを推定する際、まだ手元に情報のない状態で自然に用いることができます。

まとめ

• 「同様に確からしい」なしでも確率は定義できる。
• 確率というものを一旦抽象的に定義してしまえば、「同様に確からしい」という回りくどい文言は、堂々と「等確率」という仮定として表現できる。
• 確率論では「確率とはどういうものか」を考え、統計学に「確率をどう求めるか」を負担させる。これが、困難を分割した現代的な考え方。

確率への想い。

このブログを開設するとき、主たる話題の一つとして「確率論」を考えていました。今回は、そのモチベーションや目標を文章化して整理すべく、この記事を上げます。

生物系でも確率論を勉強したい

私は一応理系学部の学生なのですが、専攻は生物系。生物といえば物理や化学よりも数学を使わないイメージがあると思いますが、実際、周囲には教授陣を含めて数強（数学強者？）が少ないように感じます。（もちろん、専門によってはバリバリ数学を使うところもあります！）

自分の専攻では、実験計画法と生物統計しか「数学っぽい」講義はありませんでした。それも、生物実験での利用を目的とした、ほとんど全く理論的な説明のない講義で、とても数学とは言えないようなものです。

そんな中、突如として登場する中心極限定理。かっこいいし、内容もすごそう（小並感）。当然証明などないし、正規分布を利用した検定の手法だけが天下り的に与えられました。しかし、それも仕方のないことです。今思えば、大学初年度の数学で単位を取ったくらいで理解できるような定理ではありませんでした。数学をわかっていないだけでなく、（生物系の学生にありがちですが）数学を毛嫌いする学生に、統計の手法を教えるためには、誤魔化しが必要なのです。

統計を上辺だけ学び、実験結果の解釈のためだけに用いる日々。しかし、質の良いデータを得ようとするなら、統計的手法の原理を理解しているに越したことはありません。サンプルをどの位、どう採ればよいのかということは、最終的にデータをどう処理して主張を裏付けるか、ということを考えて計画するのです。そんなモチベーションで、研究の空き時間を使い、統計を学び始めました。

もともと高校時代は数学が好きで、アルバイトでも受験数学を教えていましたから、生物系の中では数学（ただし高校の）が比較的出来たと思います。私は、統計を学ぶうちに、一度大学で離れた数学、とくに「確率」というにものに格別の興味を抱きました。

そんなこんなで私は、集合や位相空間などの基礎を出発地点として、「確率論」への本格的な独学を始めました。

専門家じゃなくても確率を語りたい

このブログでは、もともと数学を受験や生物研究の道具としてしか見てこなかった、数学初心者の視点から、確率や他の数学について様々なことを語りたいと考えております。

とても数学科の方のような緻密なお話はできないでしょう。具体的な道具を使っていた者が、抽象的な数学を学ぶことによって知り得た「確率」の世界をお伝えしたいのです。

これから当ブログでは、確率に関することばかりでなく、微分積分などの関連分野について、色々な話題を扱っていく予定です。数学を勉強している高校生や、教養の数学に苦戦する大学生、数学を道具として使う社会人の方々に、数学科でない私が数学の面白さを伝えたい！というのが身の程知らずの願いです。

【高校化学】どんな問題集を使うべきか？

ブログ2日目。今日は、先日とある高校生とのやりとりで感じたことを記事にします。

タイトルの通り、今回は化学の問題集について書きますが、この手の悩みは他の教科でも大いにありますよね。

選ぶときの基準はある程度普遍的なものですから、化学以外でお悩みの人にも参考になればと思います。

目的に合った問題集を選ぶ

私が勤めている塾の個別指導では、一部の高校生は、使う問題集を自分でチョイスして持参しています。

先日、化学のコマに「重問」（実践化学重要問題集，数研出版）を持参した生徒がいて、ある単元の予習を進めることになりました。

この問題集自体は評判の通り、大学入試の特に二次試験対策の一環として取り組むには素晴らしいものだと私も思っています。

しかしそんな重問も、予習という目的を鑑みると、「素晴らしい」とは言えません。

なぜ重問をチョイスしたのかと尋ねると、「評判を聞いて」という返答。

問題集選びの際は、どういう人がどういう理由で「良い」と言っているのか、冷静に判断する必要があるでしょう。

ここでは、生徒の進度に応じて、私がおすすめする問題集を紹介したいと思います。

スタンダードなアイテム：「教科書」と「旁用問題集」

何よりも重要なのは、今の自分に合ったモノを選ぶこと。それに尽きます。

まずは、自分の勉強が今、どの段階にあるのかということを考えましょう。

1. 日常的な予習・復習
2. 学校の定期試験対策
3. 大学入試・センター試験対策
4. 大学入試・二次試験対策

だいたいこのような分類になるでしょう。

先ほど紹介した重問は、やはり「二次試験対策」に適した問題集です。ほかには標準問題精講（旺文社）などが、その段階でオススメできる問題集となります。

では、学校の予習・復習には何を使えばよいでしょうか。

結論を言うと、「教科書」＋学校指定の「旁用問題集」。これが必要にして十分な、最適なセットです。特別なモノは要りません。ひたすら「旁用問題集を解く⇔教科書で確認」を繰り返して、基礎知識の定着に努めることこそが、化学の習得には重要なのです。

旁用問題集の良いところ：

• 網羅性：必要な知識を漏らさず確認できる
• 教科書との対応：わからないことは教科書で調べられる
• 守備範囲の広さ：センター試験レベルまで十分対応できる

網羅性と教科書との対応は、日々の予習・復習に欠かせないメリットです。

重問をはじめとする入試対策に特化した問題集では、応用面を重視する以上、どうしても問題に載せきれない知識というものが出てしまいます。それだけで化学の勉強を完結させようとするのは危ういのです。

また、そういった問題集は、最低限の知識はOKという学生向けに、実践の場を提供するものですから、基礎知識が曖昧な状態で取り組むには勿体ないと言えるでしょう。

そして、旁用問題集を侮ることなかれ。旁用問題集で知識や基本計算をマスターすれば、すでにセンター試験レベルの学力は備わっています。すぐにセンター対策に移行できることでしょう。教科書＋旁用問題集のセットは、日々の予習・復習からセンター試験まで（当然ですが定期試験も）カバーできる強力なアイテムです。

注意してほしいことが一つだけあります。それは、もしわからないことがあったら必ず教科書（あるいは網羅的な参考書）で調べるということです。各単元にあるまとめのページには頼らないこと！これは、後の入試対策に向けて、教科書を使いこなせるようになって欲しいからです。教科書を繰り返し参照するうちに、教科書のどこに何が書かれているかが自然と染み付いて後々有利に働くし、教科書の鮮やかな画像のおかげで、（個人的に）覚えづらい「色」を視覚的に覚えることができるのです。また、問題集のページをチラリとめくってまとめを見るよりも、「わざわざ」教科書を開いて調べるほうが印象的な経験となり、知識の定着に結びつくと思っています。

（一昔前の電子辞書否定派のような意見になってしまいました。ちなみに、電子辞書については是非使うべきだと思っています。情報量が同じなら、早く手に入る方法を選ぶのは当然です。そんなところで時間を浪費し、勉強へのやる気が削がれてしまっては本末転倒です。まとめのページには、「調べることに抵抗を生じない＝覚える必要性を感じさせない」という問題だけでなく、「情報量の不足」があるのです。また、単語を辞書で引くという無機質な動作と、化学を理解するという有機的な営みを同列にするのもいけません。）

こうして旁用問題集を３周もすれば、相当な実力が付いていることを保証します（※周回するときは、効率にも気を付けましょう）。そうしたら、二次試験に向けて重問、最終的には過去問演習を始めればよいのです。

↓機能の練習を兼ねて、重問と標準問題精講のリンクを貼ってみます。

 

人に流されてはいけない

最後に、人の言うことにただ流されないということも大切です。

周りが使っているから、評判がいいから、という理由で問題集を選ぶのは危険です。

それでも、評判のいい問題集というものは、やはり理由があって評判が良いわけですから、自分に合った使い方をして是非活用して欲しいなと思う次第です。

とにかくやってみる。

初めまして

このブログを覘いてくださり、ありがとうございます。

人生初の投稿です。

私はそもそも人のブログを熱心に読んだことがないし、フォローというものもしたことがありません。

ブログは書くもの読むのも初心者です。

それでも、あれこれ考える前にとりあえず書いてしまえと思いました。

えいやっ！

自己紹介 ＆ ブログの方針

私は、とある大学で博士課程に在籍しています。理系ニンゲンです。

大学一年の頃からアルバイトで塾講師を続けてきましたが、 今は斯々然々の理由で、本気で講師を目指して日々を送っています。

そのような状況で将来を見据えたとき、「情報発信力」がきっと必要になるだろうと思い、勢い任せにブログを開設しました。

当ブログでは、

1. 科目としての数学や理科
2. 自然科学全般に関すること
3. 講師という仕事について

を中心に、日々考えている事を投稿していく予定です。

自身が勉強・体験した内容を文章化して整理するために、ここを利用することもあるでしょう。

私の投稿が誰か一人でも唸らせることができればいいなあ、と思います。

よろしくお願い致します！