大学数学 目次

集合・位相

複素解析

常微分方程式

ベクトル解析

環論

体論

多様体

測度論

線形空間 例 数列の空間

例(数列の空間)

実数列の空間を, \begin{align}\mathbb{R}^{\mathbb{N}} := \{(a_n) | a_1, \dots , a_n, \dots , \in \mathbb{R}\} \end{align}と定義する.但し,  (a_n)=(a_1, \dots , a_n, \dots)
 (a_n), (b_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}に対して, その和を, \begin{align} (a_n) + (b_n) = (a_n+b_n)\end{align}で定義する.
 (a_n)  \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}},  \lambda \in \mathbb{R}に対して, そのスカラー倍を, \begin{align} \lambda(a_n)=(\lambda a_n) \end{align}で定義する.
この加法とスカラー倍により, \mathbb{R}^{\mathbb{N}}  \mathbb{R}線形空間になる.

解答

解答


(1) ^{\forall}(a_n), (b_n), (c_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}に対して, 加法に関する定義と体 \mathbb{R}の定義により,\begin{align}
\{(a_n) + (b_n)\}+ (c_n) & =(a_n+b_n) + (c_n) \\
& =(a_n+b_n+c_n) \\
& =(a_n)+(b_n+c_n) \\
& =(a_n)+\{(b_n)+(c_n)\}
\end{align}
(2)零元 0 \in \mathbb{R}だから,
定数列(0)を考えると,(0) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}.
 ^{\forall}(a_n)  \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}に対して, 加法に関する定義と体 \mathbb{R}の定義により, \begin{align}
(a_n) + (0) & = (a_n+0) \\
& = (a_n) \\
& = (0+a_n) \\
& = (0)+(a_n) \\
\end{align}
以下同様の議論で \mathbb{R}^{\mathbb{N}}が線形空間の定義を満たすことを示せばよい.   \blacksquare

ポイント

  • 線形空間の定義
  • 体の定義
  • 定義に戻る.
  •  (a_n)とは, 第n項がa_nである数列を表す.
  • 例えば,  (a_n)=(n)=(1, \dots,n \dots,),  (b_n)=(0)=(0, \dots, 0, \dots,)



定義・命題 一覧(左合同~準同型定理)

命題・定義(左合同、左剰余類)

定義(指数)

命題(ラグランジュの定理)

命題・定義(剰余群)

定義(準同型写像)

定義(同型写像、同型)

命題(同型の性質)

定義(核、像)

命題(核と像による群の構成)

命題(準同型定理、第1同型定理)

命題(第2同型定理)

命題(第3同型定理)

定義・命題 一覧 (群~正規部分群)

定義(演算)

 G(\neq \phi)集合.
 G演算とは,直積G \times GからGへの写像\begin{align} \cdot : G \times G \to G
\\ (x, y) \mapsto x \cdot y\end{align}のことである.

定義(群)

 G(\neq \phi)集合.  \cdot: Gの演算.
(G, \cdot)であるとは, 条件(1), (2), (3)を満たすときにいう.
(1) ^{\forall}a, b, c \in Gに対し,  (a \cdot b) \cdot c =a \cdot (b \cdot c)が成立する.

(2) ^{\exists}e \in Gが存在して,  ^{\forall}a \in Gに対し,  a \cdot e = e \cdot a = aが成立する.このe G単位元という.

(3) ^{\forall}a \in Gに対し,  ^{\exists}b \in Gが存在して,  a \cdot b = b \cdot a = eが成立する.このb a逆元という.

定義(有限群、無限群、群の位数)

 G:群.
Gに含まれる元の数をG位相といい, |G|と書く.
Gの位数が有限のときG有限群という.
Gの位数が無限のときG無限群という.

定義(部分群)

 G:群.  H(\neq \phi) \subset G.
H G部分群であるとは,  Gの演算によって, Hが群になっているときにいう.

命題(部分群の同値条件)

 G:群.  H(\neq \phi) \subset G.
TFAE;(1),(2):
(1)H Gの部分群である.

(2) ^{\forall}a, b \in Hに対し,  a^{-1} \cdot b \in Hが成立する.

定義(群における部分集合の積)

 G:群.  S, T(\neq \phi) \subset G.  a, b \in G. \begin{align}ST &:= \{s \cdot t | s \in S, t \in T \} \\
S^{-1} &:= \{ s^{-1} | s \in S \} \\
aS &:= \{a \cdot s | s \in S \} \\
Sb &:= \{ s \cdot b | s \in S \} \\
aSb &:= \{ a \cdot s \cdot b | s \in S \} \end{align}

定義(正規部分群)

 G:群. N: Gの部分群.
N G正規部分群であるとは,  ^{\forall}x \in Gに対し, \begin{align}xNx^{-1}=N\end{align}が成立するときにいう.

命題(正規部分群の同値条件)

 G:群. N: Gの部分群.
TFAE;(1),(2),(3):
(1)N Gの正規部分群である.

(2)  ^{\forall}x \in Gに対し,  xN=Nxが成立する.

(3) ^{\forall}x \in Gに対し,  xNx^{-1}  \subseteq Nが成立する.

部分空間 例 n階線形常微分方程式の解空間

例(n階線形常微分方程式の解空間)

 n:自然数.  a_1(x), \dots, a_n(x): \mathbb{R}上の  C^{\infty}級関数.
n階線形常微分方程式の解空間
\begin{align}V := \{y \in C^{\infty}(\mathbb{R}) | \frac{d^ny}{dx^n}=a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_n(x)y\} \end{align}は,  C^{\infty}(\mathbb{R})の部分空間である.

解答

解答


定数関数 y=0 \in C^{\infty}(\mathbb{R})は, 明らかに y \in Vだから, \begin{align} V \neq \phi\end{align}(1) y, z \in Vを任意にとると, \begin{align}\frac{d^n(y+z)}{dx^n}&=\frac{d^ny}{dx^n}+\frac{d^nz}{dx^n}\\
&=a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_n(x)y \\
&+a_1(x)\frac{d^{n-1}z}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{dz}{dx} + a_n(x)z \\
&=a_1(x)\frac{d^{n-1}(y+z)}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{d(y+z)}{dx} + a_n(x)(y+z)
\end{align}よって,  y+z \in V.
(2) y \in V c \in \mathbb{R}を任意にとると, \begin{align}\frac{d^ncy}{dx^n}&=c(a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_n(x)y) \\
&=a_1(x)\frac{d^{n-1}(cy)}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{d(cy)}{dx} + a_n(x)(cy)
\end{align}よって,  cy \in V.
以上から,  C^{\infty}(\mathbb{R})の部分空間である.  \blacksquare

ポイント



線形空間 例 無限回微分可能な関数全体がなす空間

例(無限回微分可能な関数全体がなす空間)

 C^{\infty}級関数全体がなす空間を
\begin{align}C^{\infty}(\mathbb{R}) := \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} | f:C^{\infty}\verb|級関数| \} \end{align}とする.
 f, g \in C^{\infty}(\mathbb{R})に対して, その和 h = f +gを, \begin{align} h(x) = f(x) + g(x)\end{align}で定まる写像 h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}で定義する.
 f  \in C^{\infty}(\mathbb{R}),  a \in \mathbb{R}に対して, そのスカラー倍 h = afを, \begin{align} h(x) = a \cdot f(x) \end{align}で定まる写像 h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}で定義する.
この加法とスカラー倍により,  C^{\infty}(\mathbb{R}) \mathbb{R}線形空間になる.

解答

解答


(1) ^{\forall}f, g, h \in C^{\infty}(\mathbb{R}) に対して, 加法に関する定義と実数体 \mathbb{R}の性質により,\begin{align}
\{(f + g) + h\}(x) & =(f+g)(x) + h(x) \\
& =\{f(x) + g(x)\} + h(x) \\
& =f(x) + \{g(x) + h(x)\} \\
& =f(x) + (g + h)(x) \\
& = \{ f + (g + h)\}(x)
\end{align}よって,  (f+g)+h = f+(g+h)
(2)零元 0 \in C^{\infty}(\mathbb{R})だから,
 \tilde{0}(x) := 0で定まる定数関数\tilde{0}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}を考えると,\tilde{0} \in C^{\infty}(\mathbb{R}).
 ^{\forall}f \in C^{\infty}(\mathbb{R})に対して, 加法に関する定義と実数体 \mathbb{R}の定義により, \begin{align}
(f+\tilde{0})(x) & = f(x)+\tilde{0}(x) \\
& = f(x)+0 \\
& = f(x) \\
& = 0+f(x) \\
& = \tilde{0}(x) + f(x) \\
& = (\tilde{0}+f)(x)
\end{align}よって,  f+\tilde{0} = \tilde{0}+f =\tilde{0}
以下同様の議論で C^{\infty}(\mathbb{R})が線形空間の定義を満たすことを示せばよい.   \blacksquare

ポイント

 f,g :  X \to Yに対し,\begin{align}
f=g \Leftrightarrow ^{\forall}x \in X(f(x) =g(x))
\end{align}
・線形空間の定義
・体の定義
・定義に戻る.



定義・命題 一覧 体

定義(体)

 F(\neq \phi):集合.
 Fであるとは,  Fに加法 (+)と,乗法 (\cdot)が定義されていて,
次の条件(1)~(9)が満たされるときにいう.
(1) ^{\forall}a, b, c \in Fに対し,  (a+b)+c=a+(b+c)が成立する.

(2) 0 \in Fで,  ^{\forall}a \in Fに対し,  a+0=0+a=aを満たすものが唯一つ存在する.

(3) ^{\forall}a \in Fに対し,  a+b=b+a=0を満たす b \in Fが唯一つ存在する.

(4) ^{\forall}a, b \in Fに対し,  a+b=b+aが成立する.

(5) ^{\forall}a, b, c \in Fに対し,  (ab)c=a(bc)が成立する.

(6) ^{\forall}a, b, c \in F対し,  (a+b)c=ac+bc及び a(b+c)=ab+acが成立する.

(7) (0 \neq)1 \in Fで,  a \in Fに対し,  a1=1a=aを満たすものが唯一つ存在する.

(8) ^{\forall}a, b \in Fに対し,  ab=baが成立する.

(9) ^{\forall}a \in F-\{0\}に対し,  ab=ba=1を満たす b \in Fが唯一つ存在する.

定義・命題 一覧(線形空間~部分空間)

定義(線形空間)

 K:体.  V:集合.
 V K線形空間であるとは,  Vに加法 (+)と,  Kの元によるスカラー倍 (\cdot)が定義されていて,
次の条件(1)~(8)が満たされるときにいう.
(1) ^{\forall}x,y,z \in Vに対し,  (x+y)+z=x+(y+z)が成立する.

(2) 0 \in Vで,  ^{\forall}x \in Vに対し,  x+0=0+x=xを満たすものが唯一つ存在する.

(3) ^{\forall}x \in Vに対し,  x+y=y+x=0を満たす y \in Vが唯一つ存在する.

(4) ^{\forall}x,y \in Vに対し,  x+y=y+xが成立する.

(5) ^{\forall}a \in K ^{\forall}x,y \in Vに対し,  a(x+y)=ax+ayが成立する.

(6) ^{\forall}a, b \in K ^{\forall}x \in Vに対し,  (ab)x=a(bx)が成立する.

(7) ^{\forall}a, b \in K ^{\forall}x \in Vに対し,  (a+b)x=ax+bxが成立する.

(8) ^{\forall}x \in Vに対し,  1x=xが成立する.

注意

  •  K線形空間の元を, ベクトルという.
  •  K線形空間のことを,  K上の線形空間,  Kベクトル空間ともいう.
  •  K=\mathbb{R}のとき,  K線形空間のことを,実線形空間 という.
  •  K=\mathbb{C}のとき,  K線形空間のことを, 複素線形空間という
  • スカラー倍の記号 (\cdot)はしばしば省略され,  a \cdot b abと書くことが多い.
  • 体の定義はこちら 定義・命題 一覧 体

定義(部分空間)

 V: K線形空間.  W(\neq \phi) \subset V.
 W V K部分空間であるとは, 次の条件(1),(2)を満たすときにいう.
(1) ^{\forall}x,y \in Wに対し,  x+y \in W

(2) ^{\forall}a \in K ^{\forall}x \in Wに対し,  ax \in W

命題(共通部分・和による部分空間の構成)

 V: K線形空間.  W_1, \dots ,W_n: Vの部分空間.
(1)和\begin{align}W_1 + \dots + W_n =\{x_1 + \dots + x_n | x_i \in W_i , (i=1, \dots ,n)\}\end{align}は Vの部分空間である.

(2)共通部分\begin{align}W_1 \cap \dots \cap W_n =\{x | ^{\forall}iに対し, x \in W_i\}\end{align}は Vの部分空間である.

定義(線形結合, 線形独立, 線形従属)

 V: K線形空間.
 x_1, \dots , x_n \in Vに対し, \begin{align}c_1x_1 + \dots + c_nx_n , (c_1, \dots , c_n \in K)\end{align}の形のベクトルを,  x_1, \dots , x_n線形結合という.

また, \begin{align}c_1x_1 + \dots + c_nx_n=0 , (c_1, \dots , c_n \in K)\end{align}を満たすものが,  c_1=\dots = c_n =0のみのとき,  x_1, \dots , x_n線形独立 という.

さらに,  x_1, \dots , x_nが線形独立でないとき, 線形従属であるという.

定義・命題(生成される部分空間)

 V: K線形空間.  x_1, \dots , x_n \in V.
このとき, ベクトルの線形結合全体のなす集合 \begin{align}\verb|<|x_1, \dots , x_n\verb|>|=\{c_1x_1 + \dots + c_nx_n | (c_1, \dots , c_n \in K)\}\end{align}は Vの部分空間であり,  x_1, \dots , x_nから生成される部分空間という.

定義(生成系)

 V: K線形空間.  x_1, \dots , x_n \in V.
 V=\verb|<|x_1, \dots , x_n\verb|>|であるとき,  x_1, \dots , x_n V生成系であるという.

定義(基底)

 V: K線形空間.
 x_1, \dots , x_n \in Vが次の条件(1),(2)を満たすとき, V基底であるという.
(1) x_1, \dots , x_nは線形独立である.

(2) V=\verb|<|x_1, \dots , x_n\verb|>|である.

定義(有限次元, 無限次元)

 K線形空間が有限個のベクトルからなる基底をもつとき, 有限次元であるといい, 有限次元でないとき, 無限次元であるという.