1-6.株価の(定率的)二項モデル-1 𝑢倍か 𝑑倍の資産の確率分布
第2章 対数期待値の最大化
補足
3-5、3-6章で述べた、定率賭けで毎回資産のを賭けるとき、の極限で損益の分布関数が”極限の正規分布”と一致することを、より正確に示す。
公式を利用する。
株価が1期間で確率1/2で倍か倍になるとき、当初円の全資産があり、そのうちの円を最初に投資し、その後は全資産の定率を毎回賭けるときの、期間後の全資産の分布は、本文で述べた通り対数正規分布
となる。その確率密度関数は
であるが、初期投資からの損益を見るために分布全体をだけ軸左方向にずらした分布を考えると、
となる。、とおいて、、の値を代入すると、
公式を利用できるように変形すると、
expのなかのを約分して、
の極限をとると、
、を元に戻して、
となり、これは”極限の正規分布"をだけ左にずらした正規分布(=損益の分布)
と一致する。