メモ

$(1)$
$1$ 辺の長さが $12cm$ の正三角形の高さは,
$12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}_{(cm)}$
よって,求める表面積は,
$\left(12\times6\sqrt{3}\times\frac{1}{2}\right)\times2+12\times3\times3=72\sqrt{3}+108_{(cm^2)}$

$(2)$ 1
解答頁の図のように点を置く
求める線分PQの長さは,
$PQ=(HI+HQ')\times2+3$
と表せる.

まずHIの長さを求める.
題意より,BI=JCであるから,
$BI=(BC-IJ)\times\frac{1}{2}=(12-8)\times\frac{1}{2}=2_{cm}$
ここで△HBIは,30°60°90°の直角三角形となるから,(∵題意より∠HBI=60°,∠HIB=90°)
$HI=\sqrt{3}BI=2\sqrt{3}_{cm}$

次に,HQ'の長さを求める.
∠P'HQ'=∠BHI(∵対頂角),
また,条件より,
AP'=DQ'であるから,
ADとP'Q'は平行であり,
∠Q'P'H＝90°
よって△HQ'P'は30°60°90°の直角三角形であると言える
$Q'P'=3_{(cm)}$ であるから,
$Q'H=2Q'P'=6_{(cm)}$

よって求める線分PQの長さは,
$PQ=(HI+HQ')\times2+3$
$=(2\sqrt{3}+6)\times2+3$
$=15+4\sqrt{3}_{(cm)}$

$(2)2$
解答頁のように点を置く.
紙が巻きつけられている面積( $S$ とする)を表現し直すと,
$S$ は,長方形PQRSの面積から重なり合った部分を差し引いたもの
と表現出来る.
また,重なり合う部分は2ヶ所あるが、題意より合同であるから,
$S=PQRS - KQ'LP'\times2$
と表現出来る.

辺PQが貼り付けられて出来る折れ線と,辺DEとの交点をH'と置くと,
線分HH'は線分ADと平行であり,
∠H'HP'=90°
∠P'HQ'=30°であるから,
△LH'Hは正三角形であると言える.(∵対称→三角形の内角の和)
よって
∠H'LH＝60°
∠Q'LP'=60°（∵対頂角）
四角形の内角の和より,
∠Q'KP'=360-90-90-60＝120°
四角形KQ'LP'は線分KLについて対称であるから,
△KLQ'と△KLP'はどちらも30°60°90°の直角三角形であり合同となる.
KLとQ'P'の交点をMと置くと,
KQ'=KP'より
∠KMQ'＝90°(∵二等辺三角形(∵対称)の角の二等分線)
△KQ'Mは30°60°90°の直角三角形であるから,
$Q'M=\frac{1}{2}Q'P'=\frac{3}{2}_{(cm)}$
$Q'K=\frac{2}{\sqrt{3}}Q'M=\sqrt{3}_{(cm)}$
また,
$Q'L=2Q'M=Q'P'=3_{(cm)}$
よって,
$KQ'LP'=2 \triangle KLQ'$
$=2\times\left(\sqrt{3}\times3\times\frac{1}{2}\right)=3\sqrt{3}_{(cm^2)}$

よって求める面積 $S$ は,
$S=8\times(15+4\sqrt{3})-3\sqrt{3}\times2$
$=120+26\sqrt{3}_{(cm^2)}$