2021-07-20

Nb3Sn微細組織制御の研究について（Ti添加）

Nb3Snの微細組織の研究、特にTi添加による微細組織制御の研究についてざっと紹介。

昔の論文

Composite‐processed Nb3Sn with titanium addition to the matrix

ブロンズ法線材におけるブロンズ母材にTi添加を行うことで超伝導特性が向上したことを報告。太刀川先生著。

Composite‐processed Nb3Sn with titanium addition to the matrix

Superconducting critical temperatures, critical magnetic fields, lattice parameters, and chemical compositions of ‘‘bulk’’ pure and alloyed Nb3Sn produced by the bronze process

Ti添加が格子定数や常伝導抵抗率に与える影響について詳しく研究されている。教科書的に役に立つ。Suenaga先生著。

Superconducting critical temperatures, critical magnetic fields, lattice parameters, and chemical compositions of ‘‘bulk’’ pure and alloyed Nb3Sn produced by the bronze process

Effects of Titanium Addition to the Niobium Core on the Composite-Processed Nb3Sn

ブロンズ法線材におけるNb芯にTi添加した場合の微細組織。超伝導特性について詳細に研究がされている。浅野さん著。 www.jstage.jst.go.jp

1次元熱平衡式をJuliaで数値計算してみる（陽解法）

非定常の熱平衡方程式の基本

比熱と熱伝導率を定数としたときの1次元の非定常熱平衡方程式は以下のように表されます。

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{\lambda c} \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$

ここで、 $k$ : 熱伝導率 (W/m K)、 $\lambda$ : 密度 (g/m $^3$ )、 $c$ : 比熱 (J/g K)、 $u$ : 温度 (K)、 $t$ : 時刻 (s)、 $x$ : 距離 (m)とします。

まずは第一のステップとして陽解法と呼ばれる解き方で数値計算してみましょう。

まず左辺を差分法を用いて表すと、

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{u_{i, j+1} - u_{i, j}}{\Delta t}$

同様に右辺については

$\displaystyle \frac{k}{\lambda c} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{k}{\lambda c} \frac{ u_{i-1, j} - 2 u_{i, j} + u_{i+1, j}}{(\Delta x)^2}$

と表されます。ここで $i$ と $j$ は距離 $x$ と時間 $t$ を離散化したときのそれぞれの格子点を示します。

右辺と左辺をまとめると以下のようになります。

$\displaystyle u_{i, j+1} - u_{i, j} = r (u_{i-1, j} - 2 u_{i, j} + u_{i+1, j})$

ここで $r = \frac{\Delta t k}{\lambda c (\Delta x)^2}$ としています。

この式を行列式で書くと以下のようになります。

f:id:morita0079:20210714181933p:plain — equation 1

まとめると

$\displaystyle \mathbf{u^{ j+1}} = A \mathbf{u^{j}} + C$

このように陽解法では既知の温度値から次の時間ステップの温度値を求める方法です。これをプログラミング言語Juliaで書いてみましょう。

Juliaで数値計算する

まずは解析モデルについて以下のようなモデルを想定します。

材料は銅
室温（290 K）中
片端部に600 Kを設定（片端部にハンダごてをあてた）
もう片方の端部は室温温度一定とする
$\Delta x = 0.01$ , $\Delta t = 1$ E-6

以下、クソコードですが実装していきます。

using LinearAlgebra # 今回は行列計算で使用

# 定数
dx = 0.01; # delta x
dt = 1e-6; # delta t
xnum = 100; # xの要素数（格子点の数）
tnum = 1e6; # tの要素数
Ti = 290; # (K) 初期導体温度（初期条件）
Tleft = 600; # (K) 左側温度（境界条件）
Tright = 290; # (K) 右側温度（境界条件）
c = 0.379 # (J/ g K) 銅の比熱
k = 398 # (W/m K) 銅の熱伝導率
density = 8.96 * 1e6 # (g/m^3) 銅の密度

r = dt * k / c / density / dx^2 # 係数の計算

matA = diagm(0 => (1-2*r) * ones(xnum), -1 => r * ones(xnum-1), 1 => r * ones(xnum-1)) # 係数行列Aの作成
matc = [r *Tl; zeros(xnum-2); r *Tr];
for t in 1:tnum
    newx = matA * x + matC;
    x = newx;
end
p = plot(newx)
savefig(p, "data.png")

以上のコードを実行すると以下のような結果が得られます。 f:id:morita0079:20210715022846p:plain

単に温度配列をプロットしただけなので横軸は $x$ の格子点になってます。縦軸は温度です。このようにして1秒後の銅の1次元温度分布を求めることができました。ただし陽解法の場合は収束条件があり

$\displaystyle r \leq \frac{1}{2}$

の場合の解が収束します。

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最近の研究

Microstructural factors important for the development of high critical current density Nb3Sn strand

The Nb3Sn layers formation at diffusion annealing of Ti-doped multifilamentary Nb/Cu–Sn composites

Insight into the effect of Ti-addition on diffusion-controlled growth and texture of Nb3Sn intermetallic superconductor phase

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