2019-01-13

交換留学の話３[冬休み]

こんにちは、最近気温の低空飛行が安定してきて寒いとも思わなくなってきましたこの頃です。

前回書いた時から随分と時が経ってしまいました。理由は単純に気が乗らなかったからです。

今はちょうど冬休み期間中。海外の大学は８月ー１２月、１月ー５月というスケジュールで、今は完全に休みというわけです。アメリカの大学では冬休み期間中は寮が閉まり、学生はどこかへ追いやられてしまうのが多いみたいですが、私が住んでいる寮は冬休み中も滞在を許してくれています。おうち大好き人間（引きこもり）なので、せっかくの海外ですが、外出はハンバーガーを買いいくのみとなっています。それ以外にはアニメばかり見てます。

そんな私ですが、冬休み入ってすぐに友人が近くの湖に連れて行ってくれました。

全面凍結していますね。この上も歩くことができます。もう少し強大な湖も近くにあって彼はそれを渡りたがっていましたが、湖のど真ん中に成人男性二人が氷ずけにされる絵柄がニュースになってしまったらアホくさいので、さすがに制止しました。

クリスマスには同居人が家のパーティに招待してくれました。部外者である私を迎え入れてくれて、美味しいものも食べさせてもらってくれて、思い出になりました。

それ以降は、他のルームメイトが全員帰ってしまって、元日は4人部屋を堪能していました。（快適）

さて、ここまでは良かったのですが、ある一人のルームメイトが帰ってきてからというもの奇行（？）を見せるようになり、かなりフラストレーションが溜まりに溜まりまくってしまっています。それが今この記事を書いている動機だったりもします。

彼をルームメイトKとしましょう。今住んでいるのは4人部屋で、二つのベットがある部屋が二つとリビングから成ります。トイレと風呂（ユニットバス）は二人で一つを共有しています。ラッキーなことに、寮に一番乗りで着いた私は、２番目についた現地のアメリカ人と同じ部屋を共有しています。Kとは別部屋です。基本的に私はコミュニケーションを取らないので、ルームメイトとは口を利きません。同居人とは週２、３回は会話イベントが発生するのですが、Kとは今まで２、３回しか話したことがありません。

彼に関する数少ない情報としては、彼がインド出身のアラブ育ちということと名前ぐらいです。外見もいかにもアラブ育ちだなっていう焼けた肌の色をして、右腕にはタトゥーが入っています。背も私より低いぐらいなので、大柄ではないです。

彼の変異の兆候は前の学期からありました。先ほども述べたようにこの部屋は２つの寝室とリビングからなります。時間が経つにつれKはリビングを植民地とし始め、唯一のテーブルと二人も座れるソファを彼のものとしました。テーブルには常にKの教科書やPCが常時置いてあり、ソファの傍らには彼専用のゴミ入れ（といっても紙袋にゴミを突っ込んでいるだけ）を設営していたのです。
しかしながら、勉強は自室や図書館で済んでいましたし、彼と会話イベントを発生してフラグを立てるのがごめんだったので特に何か言うことはしませんでした。

しかし、ハッピーニューイヤーを迎えた後、ふらっとKが帰ってきて、それから彼の奇行が目立つようになりました。
（そもそもKは、誰にもどこへ行くかも告げずにいつの間にか消えていたのだが）
奇行とは、１日のうち４時間近く（決まって１０時から１４時の間）トイレ・風呂を占領するようになりました。しかも、かなりの音量で音楽を流し、しばしば歌っています。（聞き間違えでなければ日本語の歌も歌ってた）これがかなり自分にストレスをかけていて、リビングには到底過ごせるレベルではありません。謎です、恐怖です。彼は一体何をしているんでしょうか。。。

さらに悪いことがもう一つあります。この4人部屋には洗濯機と乾燥機が一つずつ用意されており、それらはK側の部屋のトイレにあります。運悪く誰かが使っていて、待たされることは前期からありましたし、そのことに関しては慣れていました。
しかし、Kの奇行のせいで、最近は彼が長時間その部屋を治めている間、私は入ることができません。洗濯機は4人の共有物のはずなのに、それが存在する部屋はKのものと化しています。これが治外法権という奴でしょうか。

今この文章を書いているのは、その待ち時間、私がストレスに胃を悶えさせながら拘束されている時間を利用して書いています。動機というのは「怒り」です。

まとめとしては、寮生活は百害あって一利なし、ということです。
注意点としては、自分で注意すればじゃないか、という正論に関しては受け付けません。

１ヶ月近くある冬休みももうすぐ終わり、春学期がやってきます。来季はイキって難しい授業を多めに取ってしまったので、頑張らないとまずいかもしれないです。

では、、、

2018-10-09

交換留学の話２[授業編]

１０月に入ったところでこちらは気温が１０度付近になりとても寒いですが、みなさんお元気でしょうか。
今回は授業について書きます。

アメリカの授業と聞いてみなさんは何を想像しますか？やっぱりディスカッションのイメージでしょうか。私も実際にディスカッションメインの授業だろうと学期が始まる前は戦々恐々とした日々を過ごしていましたし、オリエンテーションでもstudent-centeredな授業だから覚悟しておけと言われました。

しかし、幸運なことに現在取っている授業は一切ディスカッションがありません！！！！

まぁ詳しく説明するためにどんな授業展開なのか書きたいと思います。
自分が今学期とった授業はこちら

CSCI 1113 Introduction to C/C++
CSCI 1913 Introduction to Algorithm
CSCI 2021 Machine Architecture

見慣れない表記なので少し説明します。CSCIというのは教科を示しています。Computer SCIenceなので情報系の授業ということです。次に４桁の番号ですが、最初の番号が学年を表しています。つまり1000番台は１年生向けの授業で2000番台は２年生向けの授業ということになります。この番号は目安なので３年生で5000番台とかも取ることができたりします。

驚くべきことにたった３つなんですよね。これ日本の授業と大違いです。決して私がサボりまくってるとかではなく、５つ授業取るとオーバーワークと言われるレベル（個人差、学部差、諸説あり）なんですね。ということは暇なんはないの？と言われると以外とそうでもなく、1授業につき週５、６時間あります。時間わりはこんな感じです。

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授業が１２時から始まるので朝ぐったりとできます。（この時間を有効に使うのが大切そうですね）
寝坊がないのが救いですね。

情報系の授業はlecture+labで構成されていて、講義で学んだことをlab（実際にはプログラムを組むだけ）で実践するという形式です。なので、授業で英語を話す機会はTAさんにチェックを受ける時のみしかありません！！！
（法の抜け穴的な感じ）

ディスカッションをするような授業を受けてる方は本当にすごいと思います。私には無理です。
そもそも上記の授業を取ったのは、内容が簡単だからだろう、というなんとも消極的な理由でして、実際プログラミングの授業ではなく毎日英語の授業を取っているような感じです。

各授業について簡単に述べます。

CSCI 1113 Introduction to C/C++
C/C++の入門で Hello worldから始まりました。みなさん、C++というやばい言語をご存知でしょうか？私はCから始めてC++をうわべだけでも理解するのに２年ほどかかりました。それなのにここの人たちは半年間で終わらせようとしています。（怖い怖い）シラバスを見る限り、ポインタやテンプレートなど全て網羅するつもりでいます。
課題も結構えぐく、例えば任意の整数の四則演算の数式の入力にの対して答えを出力するプログラムとか、
え、これ最初のlabでやらせるような題材じゃないだろ、的な感じです。

そういえばなんですけどC++のstd::stringにsplit関数ってないんですね。普段QtのライブラリQStringしか使わないので意外な発見でした。もう一つ文句をいうと、std::vectorって<<演算子をオーバーロードしてないんすね。push_back使わないと末尾に追加できないという罠。どうでもいいですね。

CSCI 1913 Algorithm
アルゴリズムの授業っぽいが、なぜかHello worldから始まる。1113と対になるIntrodution to Javaという授業の復習から始まり、すでに1ヶ月でオブジェクト指向の基本的な部分が終わる。Javaなので、若干C++と違うところが煩わしい。教授がめちゃくちゃ早く話すのできつい。

CSCI 2021 Machine Architecture
一番面白い授業かつためになる授業。やるならやっぱりCですよ、C、みなさん。プログラミングするならC。内容はというとコンピュータのlowレベルな部分の話で教科書の９０パーセントがC言語をアセンブリに落としてそれがどうハードウェアで動いているかの解説。どうやったら効率的にプログラムが動くのか、セキュアなプログラムになるかなどなどです。アセンブリに触るのが初めてなのでとても面白い。
それと教授の話すスピードが遅いのがこの授業が好きな理由の一つですね、はい。

これらの授業は全て、lecture+labの形式で、lectureが全員で受ける、labはいくつかあってそれぞれTAが担当するという形です。lecture自体の人数が100人を超えていて、labは20人ずつぐらいです。
TAのシステムが日本と違っていて責任が大きいのかと感じます（教授だけでなくTA自体もオフィスアワーを義務ずけられている）。TAは大学院生がうちの大学ではやっている（多分）ですが、こちらではその授業さえ単位を取っていればその授業のTAになれる可能性があるようです。つまり三年生でもなんらかの授業のTAをできたりします。驚きですね。

他にアメリカの授業といえば、質問が多いようなイメージを持っているかと思いますが、これは真です。授業で毎回１０回ぐらいは質問があります。僕はまだしたことはありません。あとは授業のスピードがクソ早いですね。例えば先に言った通り、週に５０分×３回といえども、C++を半年間でやるって結構やばい（自分のレベルが低いだけか？）ですよね。CSCI2021の教科書は1000ページほどあり、この1ヶ月で200ページほど進みました。1113も1913も今のところ勉強していないのに、2021の教科書を読むだけで結構大変です。もし2021レベルの授業を３つ取っていたらやばかったな。アメリカの学生は本当に勉強熱心だと思います。

それと日本の高校のレベルは比較的高いんじゃないかと感じました。日本では高校までで数学的素養を相当鍛えていますが、ここの学生はそんなことがない気がします。ちなみに私が２年生の時に受けた、微分方程式やフーリエ変換の授業は5000番台の授業に対応するっぽいです。（5000番台は大学院生向け）まぁその分、いっぱい勉強する学生が多いんでしょう。追いつかれないように勉強しなければ。。

アメリカに来てから2ヶ月になろうとしています。最初は全く理解できなかった英語も徐々にわかることが多くなっているのを時々感じるのが面白いです。話すのはまだまだです。ではまた。

2018-09-21

交換留学の話１[最初の１ヶ月]

お久しぶりですこんにちは。前回書いたのはちょうど日本を出発するぐらいの時で、それからアメリカでの生活が１ヶ月経ちました。新しいことに触れる機会が多く、話のネタ的には事欠くことがありませんが割と忙しかったのでブログをサボっていました。

今回書くのは海外で１ヶ月過ごしたことのただの感想です。
まず、僕がいるのはアメリカのミネソタというところでミネアポリスという結構大きい都市が近くにあります。地理的にはカナダと国境を接していて、緯度は高いです。そんなこともあって気温が低く、日本よりかなり快適（夏に関して）に過ごすことができています。冬に関しては気温が-30度に達するらしいので多分生存できないでしょう。そうそう、ここの人たちは温度をCelcisus (摂氏) ではなくFahrenheit(華氏)で表現することが多く、寮の温度計もそうなっています。それに距離に関してもmeterではなくmileを使うので厄介です。

最初の１週間でここの生活に慣れようとぶらぶらしたりしていました。
驚いたことといえば、アメリカの交通システムです。日本と違い車は右側通行であること、なぜか同じ方向の車は青信号なのに歩行者は赤信号だということ、などなど。それと交通マナーも相当悪いです。歩行者だったら、「あ、車こないから赤信号だけど渡っちゃお」っていうのは分かるんですが、ここのドライバーは「あ、人こないから赤信号だけど渡っちゃお」っていうのが結構あります。恐るべしです。ついでに治安のことも話すと、日本と比べると相当に悪い気がします。１週間に３回はサイレンの音が聞こえてきます。（大学内なのに）

次の２週間ではちょうど新入生歓迎のイベントやオリエンテーションに参加しました。各種イベントが結構豪華で色々物をもらったり飲み食いできました。なかのいい人も数人作れたので満足でした。オリエンテーションで他の国から来た交換留学生の顔を見る機会がありました。交換留学の国籍の割合は意外にも日本がおそらく一番多かったと思います。交換留学生のことをexchange studentといい普通の留学生をinternational studentといいます。（international は exchangeを含むかもしれないですが。）international 自体はやはりダントツで中国人が多く、半分以上ですね。

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この結果を見る通り、結構アジア人が多いですね。

短いですがこのぐらいにしておきます。文章力がないですね。次は授業について書きます。

2018-08-15

交換留学の準備にかかった費用

こんにちは、夏も本番を迎えてきましたこの頃いかがお過ごしでしょうか。
私に関してはちょうど今から飛行機に乗ってミネアポリス空港に向かうところで、羽田空港からこの記事を書いています。
一年間ほどミネソタ大学というところへ交換留学に行ってきます。

さて、タイトルにあるようにこれまでかかった費用について時系列順に記したいと思います。
端数とかは端折っているのでだいたいです。

まず交換留学で最初に必要になって来るのはTOEFLまたはIELTSのスコアです。
私はTOEFLしか受けてないのですが、TOEFLの一回の受験料はなんと$235で、３回受けました。（ぎゃー）
私の在籍する大学で過去の交換留学生の平均受験回数も３回っぽいです。IELTSも受験料はほとんど変わらないのでお高めです。

次はパスポートとビザです。今まで海外に出たことがなかったのでパスポートの申請に１万ほどかかりました。
旅行ではなく長期間滞在する場合はその目的にあったビザを取得する必要があります。
私は交換留学生という立場なので学術交流に分類され、アメリカの場合、J-1ビザというものを取りました。
手数料がかなりかかって、ビザを取得すること自体で１万、J-1ビザ特有の手数料（アメリカの特殊な機関に登録するためだったかな）が２万ほどかかります。ビザに関しては国によって違うので金銭について一概には言えないです。

航空券も準備費用に含めましょうか。これも当然ですが国によってかなり違います。日本を出るのが初めてだったので飛行機の料金について知りませんでしたが、なんと往復で23万ほどします。（ちなみに格安航空ではないのでもっと安く済む方法はあるかもしれません）mac book一台買えちゃいますね。
ただ航空券に関しては、うちの大学では成績が良い人から順に最大20万の返済不要の奨学金が支援されます。私は落ちました。（GPA 3.6でダメでした。正直ショックです。）

他に大きい金額がかかるのは保険料です。日本では保険証の提示で３割負担で、残りは国が出してくれるわけですが、海外ではそうは行きません。
長期間滞在するので保険に入るのは大学側から要求されています。これも国によって違うのですが、アメリカでは大学が保険を持っていて加入するところが多く、私の行くミネソタ大学も例外ではありませんでした。１学期につき$1100、一年間過ごすのでだいたい25万ほどでしょうか。さらに大学の保険ではカバーできないところは他の日本の保険会社の加入も大学側から要求されているのでこれが5万ぐらい。（大学のキャンパス保険は大学についてから出るまでしか効かないので、飛行機などの移動中も保険をかける必要あり）
これもう病気になるしかねぇな。

最後が、予防接種です。これも国あるいは大学によって違います。（もうなんでも国によって違う気がしてきた）
私の大学はあまり厳しくなかったのですが、きちんと注射を打ってきました。ジフテリアの注射が１万５千、B型肝炎が１万、血液検査が５千、
おたふく２回で１万、書類発行で５千。トータルで5万ぐらいでした。
自分の世代だと子供の頃に３種混合ワクチンでジフテリアの注射をしているようですが、そのワクチンは子供にしか効かないらしくあまり意味がないと言わました。アメリカでは１６歳になってからきちんと効果的なジフテリアのワクチンを打つようです。
他にも風疹や麻疹などの免疫も要求されていたのですが、血液検査で免疫があったと分かったので免除です。おたふくも免疫があればよかったのになぁ。

ちなみになんですが、免疫センターが平日しかやっていなかったので授業をサボらざるおえなかったです。決して決してゲームをしていたからサボっていたわけではありません。（注射をしに行った回数はたった２回です）
それとビザに関しても、大阪の大使館で書類審査や簡単な面接があるので直接いかなければならないのですが、平日しか空いていないので授業をサボらざるおえませんでした。そんなことばかりしていたからグランドカノニカル分布からの統計力学の授業に出た覚えがありません。単位は来るのでしょうか。

明確な金額はわかりませんが、その他雑費も結構かかりました。例えばテスト勉強の教材とか、移動で新幹線使ったりだとかですね。

だいたいでまとめると、

テスト 7万
ビザ　4万
航空券　２３万
保険　３０万
予防接種　5万

雑費も含めて７０万ぐらいでしょうか。やばい。
バイト頑張ってよかったですというのと一部負担してくれた親にありがとうというところでしょうか。
航空券の奨学金でなかったのは痛いなぁ。
一応国から月８万（これは地域による）の奨学金はもらえるので、渡航中の金額はそこまでかからないと踏んでいますがどうでしょうか。
物価とかもどうなんだろうね。分からないことだらけです。

そろそろ飛行機の搭乗手続きをするのでこの辺で。

2018-06-15

ガウスの超幾何微分方程式とクンマー合流型超幾何微分方程式を解いてみた

何のためとは言わんが、ガウスの超幾何微分方程式とクンマァ合流型超幾何微分方程式の解法です。参考にしてください。

※回答があっているかどうか分からないので、自己責任でお願いします

問題

大問１

ガウスの超幾何微分方程式

$\displaystyle {x(1-x)\frac{d^2w}{dx^2}+\{\gamma-(\alpha+\beta+1)x\}\frac{dw}{dx}-\alpha\beta w=0}$

を考える。

(1) ${\gamma}$ が整数でないとき、上記の微分方程式の一般解を求めよ。

(2) ${\gamma=1}$ のとき、上記の微分方程式の一般解を求めよ。

(3) $\displaystyle{(1-x^2)\frac{d^2w}{dx^2}-2x\frac{dw}{dx}+\nu(\nu+1)w=0}$ はルジャンドルの微分方程式である。適当に変数変換することで、ガウスの超幾何微分法方程式になることを示せ。また、 ${x=\pm 1}$ での解析的な解を求めよ。

(4) ${\nu=0,1,2}$ に対する、(3)で求めた解を具体的な形で書け。

大問２

クンマァ合流型超幾何微分方程式

$\displaystyle{x\frac{d^2w}{dx^2}+(\gamma-x)\frac{dw}{dx}-\alpha w=0}$

を考える。

(1) ${\gamma}$ が非整数のとき、この方程式の一般解を求めよ。

(2) ${\gamma=1}$ のとき、この方程式の一般解を求めよ。

(3 ) ${\gamma}$ が2以上の整数のとき、この方程式の一般解を求めよ。

(4) ${\gamma}$ が0以下の整数のとき、この方程式の一般解を求めよ。

(5) $\displaystyle{x\frac{d^2w}{dx^2}+(1-x)\frac{dw}{dx}+\nu w=0}$ はラゲールの微分方程式である。 ${x=0}$ でのこの方程式の解析的な解を求めよ。

(6) ${\nu=0,1,2}$ に対する、(5)で求めた解の具体的な形を書け。

大問３

$\displaystyle{\frac{d^2w}{dx^2}+P(x)\frac{dw}{dx}+q(x)w=0}$

の２つの独立した解を ${w_1,w_2}$ としたとき、

$\displaystyle{\frac{d^2w}{dx^2}+P(x)\frac{dw}{dx}+q(x)w=f(x)}$

の一般解を求めよ。

解答

大問１

(1) 簡単のため、 $\displaystyle {L[x] = x(1-x)\frac{d^2w}{dx^2}+\{\gamma-(\alpha+\beta+1)x\}\frac{dw}{dx}-\alpha\beta w}$ という演算子 ${L[x]}$ を定義する。この微分方程式の解を $\displaystyle{\omega =\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k}}$ とおくと、

$\displaystyle\begin{align}\begin{split}L[x] &= x(1-x)\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)(\rho+k-1)x^{\rho+k-2}+\{\gamma-(\alpha+\beta+1)x\}\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)x^{\rho+k-1}\\&\quad-\alpha\beta\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k}\\&=\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)(\rho+k-1)x^{\rho+k-1}-\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)(\rho+k-1)x^{\rho+k}+\sum_{k=0}^{\infty}C_k\gamma(\rho+k)x^{\rho+k-1}\\&\quad-\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\alpha+\beta+1)(\rho+k)x^{\rho+k}-\alpha\beta\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k}\end{split}\end{align}$

ここで第１,３項に関して、 $\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}a_k = a_0 + \sum_{k=0}^{\infty}a_{k+1}}$ と変形すれば

$\displaystyle\begin{align}\begin{split}L[x]&=\rho(\rho+\gamma-1)C_0x^{\rho-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\left[C_{k+1}(\rho+k+1)(\rho+k+\gamma)-C_k(\rho+k+\alpha)(\rho+k+\beta)\right]x^{\rho+k}\\&=0\end{split}\end{align}$

これが常に成り立つには次の二つを満たせばよい。

$\displaystyle{\rho(\rho+\gamma-1) = 0\\C_{k+1} = \frac{(\rho+k+\alpha)(\rho+k+\beta)}{(\rho+k+1)(\rho+k+\gamma)}C_k}$

最初の式を満たす ${\rho}$ をそれぞれ、 ${\rho_1=0, \rho_2=1-\gamma}$ とする。ただし、 ${\gamma\neq1}$ である。
また２つ目の式より、
$\displaystyle\begin{align}C_k &= \frac{(\rho+k-1+\alpha)(\rho+k-1+\beta)}{(\rho+k)(\rho+k-1+\gamma)}C_{k-1}\\&=\frac{(\rho+k-1+\alpha)(\rho+k-1+\beta)}{(\rho+k)(\rho+k-1+\gamma)}\cdot\cdot\cdot\frac{(\rho+\alpha)(\rho+\beta)}{(\rho+1)(\rho+\gamma)}C_0\end{align}$

${(\lambda)_k = \lambda\cdot(\lambda+1)\cdot\cdot\cdot(\lambda+k-1)}$ と書くことにすると、

$\displaystyle{C_k = \frac{(\rho+\alpha)_k(\rho+\beta)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}C_0}$

と係数が求まる。初項 ${C_0}$ を ${C_{01}}$ と ${C_{02}}$ として、
(i) ${\rho = 0}$ のとき
$\displaystyle{w_1 = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)(\gamma)_k}C_{01}x^k}$
(ii) ${\rho=1-\gamma}$ のとき
$\displaystyle{w_2 = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha+1-\gamma)_k(\beta+1-\gamma)_k}{(k!)(2-\gamma)_k}C_{02}x^{k+1-\gamma}}$

ここで、 ${(1)_k = k!}$ であることに注意した。したがって一般解は線型結合で表すことができ、
${w = C_1w_1+C_2w_2}$

また、
$\displaystyle{F(\alpha;\beta;\gamma;x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)(\gamma)_k}x^k}$
とおく。

(2) ${\gamma = 1}$ のとき、 ${\rho_1=\rho_2}$ となり重解になってしまうのでフロベニウスの方法を用いてもう一つの独立な解を求める必要がある。
$\displaystyle\begin{align}w(\rho,x) &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\rho+\alpha)_k(\rho+\beta)_k}{(\rho+1)_k(\rho+1)_k}C_0x^{\rho+k}\\&=\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho)x^{\rho+k}\end{align}$

これを ${\rho}$ で微分して ${\rho=0}$ を代入したものがもう一つの解になる。
$\displaystyle\begin{align}\left.\frac{\partial w}{\partial \rho}\right|_{\rho=0} = \sum_{k=0}^{\infty}\left(\left.\frac{\partial C_k(\rho)}{\partial \rho}\right|_{\rho=0}\right)x^k+\sum_{k=0}^{\infty}C_k(0)x^klogx\end{align}$

$\displaystyle\begin{align}\left.\frac{\partial C_k(\rho)}{\partial \rho}\right|_{\rho=0}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\rho+\alpha)_k(\rho+\beta)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}\left[\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\rho+\alpha+i}+\frac{1}{\rho+\beta+i}-\frac{1}{\rho+1+i}-\frac{1}{\rho+\gamma+i}\right)\right]_{\rho=0,\gamma=1}C_0\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)^2}\left[\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}+\frac{1}{\beta+i}-\frac{2}{1+i}\right)\right]C_0\end{align}$

以上より、もう一つの解 ${w_2'}$ は

$\begin{align}\begin{split}w_2' &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)^2}\left[\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}+\frac{1}{\beta+i}-\frac{2}{1+i}\right)\right]C_{02}x^k+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)^2}C_{02}x^klogx\end{split}\end{align}$

(3) ルジャンドルの微分方程式に対し、 ${x = 1 - 2x'}$ と変数変換すると、 $\displaystyle{\frac{dw}{dx} = \left(-\frac{1}{2}\right)\frac{dw}{dx'}}$ に注意して代入すれば、

$\displaystyle{x'(1-x')\frac{d^2w}{dx'^2}+(1-2x')\frac{dw}{dx'}+\nu(\nu+1)w = 0}$

これは ${\alpha = \nu+1, \beta = -\nu, \gamma = 1}$ としたガウスの超幾何微分方程式に一致する。ただし、 ${\alpha,\beta}$ は対称性があるので交換可である。この微分方程式の解は ${\gamma}$ の値が1なので(2)のときの解に一致する。

(i) ${x=1}$ のとき

${x'=\frac{1-x}{2}}$ なので ${x'=0}$ であり、(2)の解の ${logx'}$ が発散する。したがってもう一つの解
${w_1}$ だけを選び、

$\displaystyle{w =C_0 \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\nu+1)_k(-\nu)_k}{(k!)^2}C_{01}\left(\frac{1-x}{2}\right)^k}$

(ii) ${x=-1}$ のとき、 ${x = 2x' - 1}$ として変数変換をする。同じようにガウスの超幾何微分方程式に一致する。同様に ${logx'}$ が発散するので、もう一つの解だけを用いて

$\displaystyle{w = C_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\nu+1)_k(-\nu)_k}{(k!)^2}C_{01}\left(\frac{x-1}{2}\right)^k}$

が得られる。

(4)
(i) ${\nu = 0}$ のとき、 ${(0)_0 = 1, (0)_n = 0}$ （nは正整数）なので ${k=0}$ のときだけ項が残り

${w = C_0}$

となる。

(ii) ${\nu = 1}$ のとき、 ${(-1)_n}$ の添え字nが大きすぎると、 ${(-1)_k = (-1) \cdot (-1+1) \cdot (-1+2) \cdot\cdot\cdot}$ となるように0が現れる。したがって ${k=1}$ までの項が残り、

$\displaystyle\begin{align}w&=C_0\left[\frac{1\cdot1}{1^2}\cdot1+\frac{2\cdot(-1)}{1^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)\right]=C_0x\end{align}$

(iii) ${\nu=2}$ のとき、同様に ${k=2}$ までの項が残り、

$\displaystyle\begin{align} w &= C_0\left[\frac{1\cdot1}{1^2}\cdot1+\frac{3\cdot(-2)}{1^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)+\frac{(3\cdot4)\cdot(-2\cdot-1)}{2^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)^2\right] \\&=C_0\left[\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}\right]\end{align}$

大問２

同様に左辺を ${L[x]}$ として、 $\displaystyle{w = \sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k}}$ とおくと、

$\displaystyle\begin{align}L[x] &= \sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)(\rho+k-1)x^{\rho+k-1}+\gamma\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)x^{\rho+k-1}-\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)x^{\rho+k}-\alpha\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k} \\&=\left[\rho(\rho-1+\gamma)\right]C_0x^{\rho-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\left[C_{k+1}\left\{(\rho+k)(\rho+k+1)+\gamma(\rho+k+1)\right\}-C_k(\rho+k+\alpha)\right]\\&=0\end{align}$

したがって次式が得られる。

${\rho(\rho+\gamma-1)}$
$\displaystyle{C_k = \frac{(\rho+k-1+\alpha)}{(\rho+k-1+\gamma)(\rho+k)}C_{k-1}}$

よって
$\displaystyle{C_k = \frac{(\rho+\alpha)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}C_0}$

(i) ${\rho = 0}$ のとき、

$\displaystyle{w_1 = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{k!(\gamma)_k}C_{01}x^k}$

(ii) ${\rho = 1-\gamma}$ のとき、

$\displaystyle{w_2 = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha+1-\gamma)_k}{k!(2-\gamma)_k}C_{02}x^{k+1-\gamma}}$

一般解はこれらの線型結合で表すことができ、

${w = c_1w_1+c_2w_2}$

(2) ${\gamma = 1}$ のとき、重解になるのでフロベニウスの方法を用いると、問１と同様に

$\begin{align}\begin{split}w_2' &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{(k!)^2}\left[\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}-\frac{2}{1+i}\right)\right]C_{02}x^k+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{(k!)^2}C_{02}x^klogx\end{split}\end{align}$

これと ${w_1}$ の線型結合が解になる。

(3) ${ \gamma}$ が２以上の整数のとき、正の整数mを用いて ${1-\gamma = -m}$ とおくことができる。すると、(1)のときの解の一つの ${w_2}$ の分母の ${(1-m)_k}$ のために発散してしまう。したがってフロベニウスの方法でもう一つの解を求める。

$\displaystyle{w(\rho+x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\rho+\alpha)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)}C_0x^{\rho+k}}$

とおき、これを ${\rho}$ で微分するがここで発散しないように分母と分子がうまく打ち消すようにするために

$\displaystyle{C_0(\rho) = \frac{(\rho+1)_{2m}}{(\rho+\alpha)_m}}$

とする。微分のために見やすいように整理すると、

$\displaystyle\begin{align}w &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\rho+\alpha)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}\frac{(\rho+1)_{2m}}{(\rho+\alpha)_m}x^{\rho+k}\\&=\sum_{k=0}^{\infty}A_k(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k}\\&=\left(\sum_{k=0}^{m-1}+\sum_{k=m}^{\infty}\right)A_k(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k}\\&=\sum_{k=0}^{m-1}A_k(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k} + \sum_{k=0}^{\infty}A_{k+m}(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k+m}\end{align}$

ただし、 $\displaystyle{A_k(\rho) = \frac{(\rho+\alpha)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}}$ とおいた。さらに ${A_{k+m}(\rho)C_0(\rho)}$ の項について

$\displaystyle\begin{align}A_{k+m}(\rho)C_0(\rho)&=\frac{(\rho+\alpha)_{k+m}}{(\rho+1)_{k+m}(\rho+\gamma)_{k+m}}\frac{(\rho+1)_{2m}}{(\rho+\alpha)_m}\\&=\frac{1}{(\rho+m+1)_m(\rho+2m+1)_k}(\rho+\alpha+m)_k(\rho+1)_m(\rho+m+1)_m\\&=\frac{(\rho+\alpha+m)_k}{(\rho+2m+1)_k(\rho+1+m)_k}\\&=\frac{\{(\rho+m)+\alpha\}_k}{\{(\rho+m)+\gamma\}_k\{(\rho+m)+1\}_k}\\&=A_k(\rho+m)\end{align}$

以上より、

$\displaystyle{w(\rho,x) = \sum_{k=0}^{m-1}A_k(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k}+\sum_{k=0}^{\infty}A_k(\rho+m)x^{\rho+k+m}}$

次にこれを微分し、 ${\rho = -m}$ を代入する。 ${\rho}$ についての変数が５個あるため、５つの項が生じる。

まず、 ${x^\rho}$ の微分の部分を考える。（２つの項を計算する）
すると、上の式のうち、第１項は分子の ${(-m+1)_{2m}}$ が0になるため微分しても0になる。一方、第２項目は分子と分母の0が打ち消しあうので残る。したがって、微分して代入すると

$\displaystyle{logx \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{k!(m+1)_k}x^k}$

次に、 ${A_k(\rho)}$ の微分については ${C_0(-m) = 0}$ となるのでこれも消える。

そして、 ${A_k(\rho+m)}$ を微分すると、

$\displaystyle\begin{align} &\sum_{k=0}^{^infty}\frac{(\rho+m+\alpha)_k}{(\rho+m+1)_k(\rho+2m+1)_k}\left[\sum_{I = 0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}-\frac{1}{1+i}-\frac{1}{m+1+i}\right)\right]\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{k!(m+1)_k}\left[\sum_{I=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}-\frac{1}{1+i}-\frac{1}{m+1+i}\right)\right]x^k\end{align}$

となる。最後の１つの項は ${C_0(\rho)}$ の微分について

$\displaystyle\begin{align}\left(\frac{dC_0(\rho)}{d\rho}\right)_{\rho=-m} &= \frac{(\rho+1)_{2m}}{(\rho+\alpha)_m}\left(\sum_{i = 0}^{2m-1}\frac{1}{\rho+1+i}-\sum_{i=0}{m-1}\frac{1}{\rho+\alpha+i}\right)\\&=\frac{(1-m)_{2m}}{(\alpha-m)_m}\left(\sum_{i=0}^{2m-1}\frac{1}{1-m+i}-\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{\alpha-m+i}\right)\end{align}$

よって最後の項は

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(\alpha-m)_k}{k!(1-m)_k}\frac{(1-m)_{2m}}{(\alpha-m)_m}\left(\sum_{i=0}^{2m-1}\frac{1}{1-m+i}-\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{\alpha-m+i}\right)x^{k-m}}$

以上の項の足し合わせが、もう一つの独立な解になり、２つの線型結合で一般解が表される。
しかし、 ${\alpha}$ が ${1\leqq\alpha\leqq m}$ を満たすとき、そもそも発散が起きない。したがって、 ${1\leqq\alpha\leqq m}$ のとき、(1)と同じ答えになり、そうでないときだけ上の答えになる。

(4) ${\gamma}$ が０以下の整数のとき、正整数mを用いて ${1-\gamma = m}$ と書ける。このとき、(1)で求めた ${w_1}$ は分母の ${(\gamma)_k}$ で発散してしまう。したがってもう一つの解を求めたい。まず、 ${ w = x^{1-\gamma}V = x^mV}$ としてクンマーの微分方程式に代入したい。

${V' = mx^{m-1}V + x^mV'}$
${V'' = m(m-1)x^{m-2}V + 2mx^{m-1}V' + x^mV''}$

したがって、

$\displaystyle\begin{align}&x\left[m(m-1)x^{m-2}V+2mx^{m-1}V' + x^mV''\right] + (\gamma-x)\left[mx^{m-1}V+x^mV'\right] - \alpha x^mV\\&=x^m\left[xV''+(1+m-x)V'-(m+\alpha)V\right]\\&=0\end{align}$

この形は ${\gamma \rightarrow 1+m , \alpha \rightarrow m+\alpha}$ としたときのVについてのクンマー合流型超幾何微分方程式に相当する。したがってVを求めることができる。ここで ${\gamma}$ に相当するm+1のは、mが正整数なので常に２以上の整数になる。よってVは(3)のときの解になる。ただし、同様に場合わけも必要になる。（解の具体的な形は省略）

(5) ${\gamma = 1 , \alpha = \nu}$ のとき、ラゲールの方程式となる。 ${x = 0}$ のとき、(2)で求めた ${ logx}$ が発散してしまうので、この項を無視すればよく

$\displaystyle{w = C_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\nu)_k}{(k!)^2}x^k}$

(6) (i) ${\nu = 0}$ のとき、 ${k = 0}$ の項だけが残り、

${w = C_0x}$

(ii) ${\nu = 1}$ のとき、 ${k=1}$ の項までが残り、

${w = C_0\left[1-x\right]}$

(iii) ${\nu = 2}$ のとき、 ${k=2}$ の項までが残り、

$\displaystyle{w = C_0\left[1 - 2x + \frac{1}{2}x^2\right]}$

大問３

同次方程式の一般解が ${w = C_1w_1 + C_2w_2}$ であるので、定数変化法を用いて ${C_1, C_0}$ をxの変数と考える。wの一階微分は

${ w' = C_1'w_1 + C_2'w_2 + C_1w_1' + C_2w_2'}$

と書ける。次にwの２階微分を考えたいが、先に

${ C_1'w_1 + C_2'w_2 = 0}$

と仮定しておく。すると

${ w'' = C_1'w_1' + C_2'w_2' + C_1w_1'' + C_2w_2'' }$

したがって、 $\displaystyle{w''+P(x)w'+q(x)w=f(x)}$ は

$\displaystyle\begin{align}\begin{split}&C_1'w_1' + C_2'y_2' + C_1w_1'' + C_2w_2'' + P(x)(C_1w_1'+C_2w_2') + q(x)(C_1w_1+C_2w_2)\\&=C_1'w_1'+C_2'w_2'+C_1\left[w_1''+P(x)w_1'+q(x)w_1\right]+C_2\left[w_2''+P(x)w_2'+q(x)w_2\right]\\&=C_1'y_1'+C_2'y_2' \\&=f(x)\end{split}\end{align}$

したがって、 ${C_1, C_2}$ を満たすべき条件は
${C_1w_1' + C_2w_2' = 0\cdot\cdot\cdot 1\\C_1'w_1'+C_2'w_2' = f(x)\cdot\cdot\cdot 1}$

この連立方程式から ${C_1', C_2'}$ を求める。
${1\times w_1' - 2\times w_1}$ より、

$\displaystyle{C_1 ' = -\frac{w_2}{w_1w_2'-w_1'w_2}f(x)}$

同様に、

$\displaystyle{C_2 ' = \frac{w_1}{w_1w_2'-w_1'w_2}f(x)}$

${C_1,C_2}$ はこれらを積分して

$\displaystyle{C_1(x) = -\int\frac{w_2}{w_1w_2'-w_1'w_2}f(x)dx\\C_2(x) = \int\frac{w_1}{w_1w_2'-w_1'w_2}f(x)dx}$

となり、（積分定数は吸収されるので0と考えてよい）一般解は

${ w = Aw_1 + Bw_2 +C_1(x)w_1 + C_2(x)w_2}$

となる。

間違ってたら教えてください

2018-06-11

デスクトップPCを封印した

こんにちは

まだ夏はまだなのに、最近暑くなってきました。「あつい」といえば、ここ３ヶ月ほどPUBGというpcゲームにハマっていました。まぁ、割と有名なので語るまでもないですが、荒野行動とかfortniteとかみたいなバトルロイヤルゲーで、最後の一人になるまで100人で戦うゲームです。このゲーム、相当面白い！１試合、２０分から３０分ぐらいかかるんですが、気づくと２時間ぐらいはあっという間です。デスクトップpcを買ったのは今年の1月ぐらいで、その当時からゲームをインストールしていたのですが、チーターが多すぎて、当時は全然プレイしていませんでした。が、３月ぐらいに日本サーバーが用意されて、チーターが激減。（チーターの99パーセントが中国からのアクセスだった）結果、成績も良くなってここ３ヶ月PUBGをやりまくってしまいました。

どのぐらいやっていたのかというと、過去２週間のプレイ時間を確認できるのですが、ここ３ヶ月の間40時間を切ったことを見たことがありません。単純計算で40時間÷14日なので一日最低３時間ぐらいプレイしているぐらいです。一昨日の過去２週間のプレイ時間は７０時間でした。

しかし、これはやばい。現在絶賛中間テスト中なんですが、ストレスがたまるとゲームに逃避してしまう癖があって特に先日の統計力学の前日というか当日というかは徹夜で７時間ぐらいプレイしていました。まだ、あくまで中間テストなのでなんとかなるかもしれませんが、期末テストのことを考えると単位をいくつか落とすことは必至。なのでデスクトップpcを実家に置いてきました。涙

じゃあね、pubg

余談

家に帰ったら、妹がmmdを触っていました。今の時代、そういうことに興味を持つことは大事だと思ったので、自分のpcにアカウントを作って使ってもいいよって置いてきました。本当は20万pcなんて絶対触らせまいと思っていたのですが、流石にcpuがpentiumでgpuさえついていない低スペノートpcだと不憫だし、せっかく余っているから使って欲しかったのです。GTX 1070Tiを役立ててくれると嬉しいなぁ。

2018-05-21

Oculus Riftを買った話

こんにちは。

ブログを始めました。本当は今年の夏から交換留学に行く予定なので、それについて書くために作ったんですが、ほかにも色々書けたらなぁと思いまして...

さて、４月の頭にOculusを買いました。VRの頭につけるディスプレイと両手のコントローラ、それとセンサのセットです！なんで買ったかというと、前々から欲しかったのと、その場の勢いで即決購入してしまいました。その感想とかを書こうと思います。

まず、楽しいですね！ただ頭につけれるディスプレイなだけだと思ってたんですが、全然違う。本当にその空間にいるかのように錯覚します。（本当に！）まだまだソフト数が少ないですが、一番すごいと思ったのがRoboRecallというゲーム（無料）。現実だとできないことがあたかもできるようになるっていうのが本当にVRの良いところな気がします。

OculusとHTCviveでとても迷ったんですが、値段でOculusにしました。あと、使うかどうかわからないけれど、OculusはC++、HTCviveの方がC#でコントロールできる場合があるらしいのでOculusにしました。今の所、Oculusでは足のキャプチャ用のデバイスは販売していないので、早く出るといいですよね。

デメリットというか、まだまだ良くなってほしいところも結構あります。というかこちらの方が多い...

一つ目がヘッドマウントディスプレイがかなーり暑い。暑いのでレンズがしばしば曇ってしまいます。髪の長い人とか大変な気がします。

二つ目は画質の問題です。実はHD画質よりOculusの画質は少しばかり高いようで、２１００×１２００なんですが目とディスプレイの距離が近すぎるので普通のディスプレイよりも画質が劣って見えます。

三つ目はOculusは後ろのトラッキングが反応しなできないこと。センサの死角には反応してくれません、残念ながら。

とはいえ、VRはまだまだ黎明期だと信じている（だから買ったのもある）ので、もっと値段が下がったり色々楽しくなるといいですよね。

人を読ませる文章書くの難しいなぁ。。。