【解説/解答】ファイナンスのための確率解析 2 II　練習問題１．7

ファイナンスのための確率解析 2 II　シュプリンガー・ジャパン　S.E.シュリーブ著、長山いずみ　他訳　練習問題1.6 解答

 

(i) 答え　{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{n}(x)=0}

[証明] 関数{ \displaystyle f_{n}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2n}}}の最大値はx=0となる{ \displaystyle f_{n}(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}}}である。

よって、{ \displaystyle \epsilon}を任意の正の整数とすると、アルキメデスの定理より、{ \displaystyle \dfrac{1}{2\pi\epsilon^{2}} }以上の自然数が存在するので、そのうちの一つを選んでNとする。すると、Nより大きい任意のnに対して、

{ \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{2N\pi}} \leq \epsilon }

 

が成り立つ。

{ \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}} }は関数{ \displaystyle f_{n}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2n}}}の最大値であるから、

{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{n}(x)=0}　□

 

{i}答え  { \displaystyle \lim_{n\to \infty}\int^{\infty}_{-\infty} f_{n}(x)=1}

[証明] { \displaystyle \epsilon}を任意の正の整数とすると、

{ \displaystyle \left| \int^{\infty}_{-\infty} f_{n}(x)-1 \right| }

={ \displaystyle \left| 1-1\right| \leq \epsilon }

よって、 { \displaystyle \lim_{n\to \infty}\int^{\infty}_{-\infty} f_{n}(x)=1}　□

 

(iii)単調収束定理では、関数列の単調増加性が前提として必要であるが、{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{n}(x)}は単調増加性はなく、定理とは矛盾しない。

 

【解説/解答】ファイナンスのための確率解析 2 II　練習問題１．6　解答

ファイナンスのための確率解析 2 II　シュプリンガー・ジャパン　S.E.シュリーブ著、長山いずみ　他訳　練習問題1.6 解答

 

[証明]

(i)

{ \displaystyle \mathbb{E}[\phi({\bf X})]}

={ \displaystyle \mathbb{E}[e^{u{\bf X}}]}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} e^{ux}\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\dfrac{2\sigma^2ux-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2-2(\sigma^2u+\mu)x+\mu^2}{2\sigma^2}}dx}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-(\sigma^2 u+\mu)^2)^2-(\sigma^4 u^2+2\sigma^2 u \mu)}{2\sigma^2}}dx}

 

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-(\sigma^2 u+\mu)^2)^2}{2\sigma^2}}e^{\dfrac{(\sigma^4 u^2+2\sigma^2 u \mu)}{2\sigma^2}}dx}

 ={ \displaystyle e^{\dfrac{1}{2}\sigma^2 u^2+u \mu} \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-(\sigma^2 u+\mu)^2)^2}{2\sigma^2}}dx}

 ={ \displaystyle e^{\dfrac{1}{2}\sigma^2 u^2+u \mu}}

[Q.E.D] 

 

(ii)

問題文の仮定より、{ \displaystyle \phi({\bf X})}は凸関数であるため、任意のxに対して、以下２つの条件を満たす線形関数{ \displaystyle g(x)=ax+b}が存在する。

(1){ \displaystyle \exists x_{0},\phi(x_{0})=g(x_{0})}

(2){ \displaystyle \forall x,\phi(x) \geq g(x)} 

 

よって、

 

{ \displaystyle \mathbb{E}[\phi({\bf X})]} 

{ \displaystyle \geq \mathbb{E}[g({\bf X})]} 

={ \displaystyle \mathbb{E}[a({\bf X})+b] }

={ \displaystyle a(\mathbb{E}[{\bf X}])+b}

={ \displaystyle g(\mathbb{E}[{\bf X}])}

={ \displaystyle \phi(\mathbb{E}[{\bf X}])} 

 

[Q.E.D]

【解説/解答】ファイナンスのための確率解析 2 II　練習問題　１．５　解答

ファイナンスのための確率解析 2 II　シュプリンガー・ジャパン　S.E.シュリーブ著、長山いずみ　他訳　練習問題１．５

 

[証明]

 { \displaystyle \int_\Omega\int_0^\infty \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)dxd\mathbb{P}(\omega)}を\phiとしたとき、以下の2つを示せばよい。

 

(i) { \displaystyle \phi \Leftrightarrow \mathbb{E}{\bf X}}

(ii){ \displaystyle \phi  \Leftrightarrow \int_0^\infty (1-F(x))dx}

 

(i)の証明

‘※{ \displaystyle \mathbb{E}{\bf X}= \int_\Omega X(w)d\mathbb{P}(\omega)}なので、これに{\displaystyle \phi}を変更するのがゴール。

まず、{ \displaystyle \int_0^\infty \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)dx} について考える。

{ \displaystyle \omega}を固定して考えれば、{ \displaystyle \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)} が1になるのは、定義関数の定義より、{ \displaystyle x \in {\bf X}(\omega)} を満たすときであるで、

 

{ \displaystyle \phi = \int_\Omega\int_0^\infty \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)dxd\mathbb{P}(\omega)}

{ \displaystyle \Leftrightarrow}※上の考察より

{ \displaystyle \phi = \int_\Omega {\bf X}(\omega)d\mathbb{P}(\omega)}

{ \displaystyle \Leftrightarrow}※期待値の定義より

{ \displaystyle \phi = \mathbb{E}{\bf X}}

 

(ii)の証明

{ \displaystyle {\bf X}}は非負の確率変数なので、積分の順序の変更が可能で、

 

{ \displaystyle \phi = \int_0^\infty\int_\Omega \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)d\mathbb{P}(\omega)dx}

 

ここで、{ \displaystyle \int_\Omega \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)d\mathbb{P}(\omega)}について考える。

 

xを固定して考えれば、{ \displaystyle \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)} が1になるのは、{ \displaystyle {\bf X}(\omega)\geq x} を満たすときであるで(*1)、

 

{ \displaystyle \phi = \int_0^\infty\int_\Omega \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)d\mathbb{P}(\omega)dx}

{ \displaystyle \Leftrightarrow}※上の考察より

{ \displaystyle \phi = \int_0^\infty (1-F(x)) dx}

 

(i)と(ii)より、{ \displaystyle \mathbb{E}{\bf X}=\int_0^\infty (1-F(x))dx}

 

 

[Q.E.D]

(*1) 例えばx=0と考えれば任意の{ \displaystyle \omega}に対して、必ず定義関数は1を返す。

 

 

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