takashiyamaguchi’s diary

ABC予想を用いたフェルマーの最終定理の証明

昨年ついに望月先生の証明したABC予想の論文がアクセプトされたようです。

恥ずかしながらABC予想の主張をようやく把握しましたが、その強力さに非常に衝撃を受けました。

望月先生によるABC予想の証明及びABC予想を証明する鍵となる望月先生が1から構築したIUT理論について理解することができれば、21世紀の数学の世界が見れるのではないかと思い、数論を本格的に勉強しようと思いました。

ABC予想を用いると、フェルマーの最終定理が瞬殺できてしまうそうです。あのフェルマーの最終定理が一瞬で解けてしまうのは、なんだか複雑な気持ちになりますが、この成果によってリーマン予想など数学上の重要な問題の解決が前進すると考えれば、21世紀の数学もまだまだワクワクしますね。

さて、今回はABC予想を用いたフェルマーの最終定理の証明をしてみたいと思います。

フェルマーの最終定理は3 以上の自然数 $n$ について、 $x^ n+y^ n=z^ n$ となる自然数の組 $(x, y, z)$ は存在しない、という定理です。

ABC予想の主張は以下の通りです。

$a + b = c$ を満たす、互いに素な自然数の組 $(a, b, c)$ に対し、積 abc の互いに異なる素因数の積を d と表す。このとき、任意の $ε \gt 0$ に対して、
$c \gt d^ {1+ε}$ を満たす組 $(a, b, c)$ は高々有限個しか存在しない。

また、自然数 n に対して、n の互いに異なる素因数の積を n の根基 (radical) と呼び、 $rad(n)$ と書きます。以下に例を挙げます。

$p$ が素数の場合、 $rad(p) = p$
$rad(8) = rad(2^3) = 2$
$rad(20) = rad(2^2 ⋅ 5) = 2 ⋅ 5 = 10$

$rad(n)$ を用いると $d=rad(abc)$ とかけます。

ABC予想と同値な表現として次のものがあげられます。

任意の正の実数 ε に対し、ある定数 Kε が存在して、全ての互いに素な正整数の組 $(a,b,c)$ で $a+b=c$ であるようなものに対して以下が成り立つ。

$c \lt K_ε⋅rad(abc)^{1+ε}$

証明

$ε=1,K_ε=1$ のとき $c \gt K_ε⋅rad(abc)^{1+ε}$ を満たす全ての互いに素な正整数の組 $(a,b,c)$ が存在しないという仮定のもとで証明をします。（この仮定が正しいかどうかはわかりません。調査不足で申し訳ございません。）

$ε=1,K_ε=1$ より

$c \lt rad(abc)^2$

フェルマーの最終定理が成り立つと仮定すると3 以上の自然数 n について、 $x^ n+y^ n=z^ n$ となる自然数の組 $(x, y, z)$ が存在する。

$a =x^n,b =y^n,c =z^n$ とすると、

$z^n \lt rad(x^n y^n z^n)^2$

ここで、整数 $k$ に対して $rad(k^n)=rad(k)≤k$ なので、

$z^n \lt rad(x^n y^n z^n)^2 =rad(xyz)^2 \leq (xyz)^2$

また、 $x^ n+y^ n=z^ n$ より $z \gt x,z \gt y$ なので、

$z^n \lt (xyz)^2 \lt z^6$

$z \gt 1$ より $n \lt 6$

したがって、 $n≥6$ の場合のフェルマーの最終定理に解が存在しないことが言えました。

$n=3,4,5$ の時は古典的な証明があるので3 以上の自然数 $n$ について解が存在しないことが言えます。

初めての記事なので思ったより時間がかかってしまいました。

徐々に慣れていきたいと思います。