$n$ 枚のカードを用いた次のような 2 人ゲームをする．$i$ 番目のカードの表面には数 $A_i$ が，裏面には数 $B_i$ が書かれている．ゲーム開始時，すべてのカードは場に置かれている．
プレイヤーは交互に次の行動を繰り返す．
操作を行えない場合は，そのプレイヤーの敗北となる．
両プレイヤーが最適にプレイしたとき，勝つのはどちらか？
2 つの文字列の最長共通接頭辞 (Longest Common Prefix; LCP) を求める関数を $\mathrm{ LCP }$ とする．英小文字からなるすべての文字列からなる集合を $\mathcal S$ として，関数 $f \mathpunct{:} \mathcal S \times \mathcal S \to \mathbb Z_{ \geq 0 }$ を
\begin{equation*}
f( x, y ) = | \mathrm{ LCP }( x, y ) |
\end{equation*}
で定義する．
英小文字からなる文字列 $n$ 個からなる列 $S = \langle S_1, S_2, \dots, S_n \rangle$ が与えられる．式
\begin{equation*}
\sum_{ i = 1 }^{ n - 1 }\sum_{ j = i + 1 }^{ n } f( S_i, S_j )
\end{equation*}
を求めよ．
関数 $f_s( x )$ を，整数 $x$ を $x$ を $10$ 進数で表現する文字列に変換する関数とし，関数 $f_i( S )$ を，正整数を $10$ 進数で表現する文字列 $S$ を $S$ が表現する正整数に変換する関数とする．また，文字列に対する二項演算 $\mathord{+}$ を文字列の連結として定義する．
$n$ 項からなる正整数列 $A = \langle A_1, A_2, \dots, A_n \rangle$ が与えられる．式
\begin{equation*}
\sum_{ i = 1 }^{ n - 1 }\sum_{ j = i + 1 }^{ n } f_i( f_s( A_i ) + f_s( A_j ) )
\end{equation*}
を $998{,}244{,}353$ で割った余りを求めよ．
関数 $f \mathpunct{:} ( \mathbb Z_{ > 0 } )^2 \to \mathbb Z_{ \geq 0 }$ を
\begin{equation*}
f( x, y ) = ( x + y ) \bmod 10^8
\end{equation*}
で定義する．
$n$ 項からなる正整数列 $A = \langle A_1, A_2, \dots, A_n \rangle$ が与えられる．式
\begin{equation*}
\sum_{ i = 1 }^{ n - 1 }\sum_{ j = i + 1 }^{ n } f( A_i, A_j )
\end{equation*}
で定まる値を求めよ．
サイズ $n$ の順列 $P = \langle P_1, P_2, \dots, P_n \rangle$ が与えられる．
$k$ 項からなる $P$ の添字列 $I = \langle I_1, I_2, \dots, I_k \rangle$ であって，以下の 2 条件を満たすものを考える．
条件を満たす添字列 $I$ の内，$I_k - I_1$ を最小化したときのその値を求めよ．
