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数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑩因数分解】

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因数分解

因数分解も公式が多い単元です。

 

念のため因数分解の公式を載せておきますね。

【因数分解の公式】

〈公式①〉

{ \displaystyle mx+my=m\left(x+y\right)}

〈公式②〉

{ \displaystyle a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2}

{ \displaystyle a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2}

〈公式③〉

{ \displaystyle a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}

〈公式④〉

{ \displaystyle x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)}

 

因数分解の解法パターンは上記の5個です。

 

この中でおそらく一番ややこしいのが公式④でしょう。

 

今回は、公式④のパターンをマスターしていきましょう。

 

この解法は誰でもすぐにできるようになります。

 

最初は難しいと感じるかもしれません。

 

でも”慣れ”で克服可能です。

 

僕が教えている生徒で、どんなに点数が悪い生徒でも100%スラスラできるようになっています。

 

生徒にやらせたことは、たった一つ。

「同じ問題を何十回と解く」

これだけです。

 

それではいきましょう！

例題

次の式を因数分解しなさい。

{ \displaystyle \left(1\right)x^2+2x-15}

{ \displaystyle \left(2\right)x^2+9x-22}

{ \displaystyle \left(3\right)x^2-2x-24}

シンプル要約

①掛け算の組合せ

②足し算の組合せ

公式④の公式が難しく感じる理由の一つは、他の公式のようにスパッと数字がでないからです。

 

この問題を見てください。

{ \displaystyle \large x^2-36}　を因数分解せよ。

これだとすぐに{ \displaystyle 36=6^2}だから、

{ \displaystyle x^2-36=\left(x+6\right)\left(x-6\right)}

と数字がすぐ浮かびますよね。

 

では例題の(1)を考えてみましょう。

{ \displaystyle \large x^2+2x-15}

公式④と見比べてみましょう。

〈公式④〉

{ \displaystyle x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)}

２つを並べるとこうです。

  • { \displaystyle x^2\color{red}{+2}x\color{red}{-15}}
  • { \displaystyle x^2+\left(\color{red}{a+b}\right)x+\color{red}{ab}}

上記の赤文字で連立方程式ができるのが分かりますか？

{ \displaystyle \begin{cases}ab=-15\\a+b=+2\end{cases}}

これを文章にすると「掛けて-15、足すと+2になる数字の組み合わせ」ということになりますよね。

 

掛けて-15になる数字の組み合わせから考えてみます。

  • ①+1と-15
  • ②-1と+15
  • ③+3と-5
  • ④-3と+5

あとは、この中から足して+2になる組み合わせを選ぶだけです。

 

見てみると、足して+2になるのは④-3と+5の組み合わせだというのが分かりますね。

 

したがって、因数分解の答えはこうなります。

{ \displaystyle x^2+2x-15}

{ \displaystyle =\left(x-3\right)\left(x+5\right)}

解答・解説

{ \displaystyle \left(1\right)x^2+2x-15}

{ \displaystyle =\left(x+5\right)\left(x-3\right)}

①掛けて{ \displaystyle -15}になる組合せ

  • { \displaystyle +1　-15}
  • { \displaystyle -1　+15}
  • { \displaystyle +3　-5}
  • { \displaystyle -3　+5}

②足して{ \displaystyle +2}になる組合せ

{ \displaystyle \left(-3\right)}と{ \displaystyle \left(+5\right)}

 

{ \displaystyle \left(2\right)x^2+9x-22}

{ \displaystyle =\left(x+11\right)\left(x-2\right)}

①掛けて{ \displaystyle -22}になる組合せ

  • { \displaystyle +1　-22}
  • { \displaystyle -1　+22}
  • { \displaystyle +2　-11}
  • { \displaystyle -2　+11}

②足して{ \displaystyle +9}になる組合せ

{ \displaystyle \left(-2\right)}と{ \displaystyle \left(+11\right)}

 

{ \displaystyle \left(3\right)x^2-2x-24}

{ \displaystyle =\left(x+4\right)\left(x-6\right)}

①掛けて{ \displaystyle -24}になる組合せ

  • { \displaystyle +1　-24}
  • { \displaystyle -1　+24}
  • { \displaystyle +2　-12}
  • { \displaystyle -2　+12}
  • { \displaystyle +3　-8}
  • { \displaystyle -3　+8}
  • { \displaystyle +4　-6}
  • { \displaystyle -4　+6}

②足して{ \displaystyle -2}になる組合せ

{ \displaystyle \left(-4\right)}と{ \displaystyle \left(+6\right)}

正直、最初からここまで丁寧にやる必要はありません。

 

ですが、スラスラと数字の組み合わせが出ないときや、素早く解いた結果、数字の組み合わせが間違っているときは一度このやり方を試してみてください。

 

慣れてくれば、このような組み合わせの書き出しは必要なくなります。

なぜ大事なのか

因数分解は、高校入試で必ず出題されます。

 

どんな形式で出題されるかというと次の通りです。

  • 計算問題
  • 短めの文章問題
  • 二次方程式の問題
  • グラフと図形の融合問題

数学の入試で最も幅広く出題される解法の一つです。

 

つまり、どこでどんな形式で出題されても対応できるようにしておかなければいけません。

 

今回は公式④だけやりましたが、冒頭でもお見せした他の公式についてもできるようになっておきましょう。

【因数分解の公式】

〈公式①〉

{ \displaystyle mx+my=m\left(x+y\right)}

〈公式②〉

{ \displaystyle a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2}

{ \displaystyle a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2}

〈公式③〉

{ \displaystyle a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}

〈公式④〉

{ \displaystyle x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)}

数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑨球の表面積・体積】

解法テクニック

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球の表面積・体積の公式、覚えてますか？

 

【球の表面積】

{ \displaystyle \Large4\pi r^2}{ \displaystyle \scriptsize\left(cm^2\right)}

【球の体積】

{ \displaystyle \Large\frac{4}{3}\pi r^3}{ \displaystyle \scriptsize\left(cm^3\right)}

上記が公式ですね。

 

この公式ってややこしくて覚えにくいですよね。

 

ですが、安心してください。

"簡単に一発で"覚えられる方法があります。

 

実際に僕も指導しているときに、これから紹介する方法で公式を覚えてもらっています。

 

ほぼ百発百中で生徒も覚えてくれてます。

 

公式をしっかり覚えて、演習で使えるようにしていきましょう。

球の表面積・体積

では早速、球の表面積・体積の公式の便利な覚え方を紹介しますね。

 

それがコチラ⬇︎

【球の表面積】

「表面に心配あるある」

f:id:tyoki15:20200916143714p:plain

【球の体積】

「身の上に心配あるのさ」

f:id:tyoki15:20200916143731p:plain

いかがでしょうか？すごく覚えやすい語呂合わせじゃないですか？

 

ちなみにこの覚え方はこの記事から引用させていただいてます。

 

では語呂合わせで公式を覚えたところで、例題に行ってみましょう。

 

公式や計算テクニックは演習で使いこなすまでが肝ですよ。

例題

次の問いに答えなさい。

(1)半径{ \displaystyle 6cm}の球の表面積と体積を求めなさい。

(2)半径{ \displaystyle 6cm}の半球の表面積と体積を求めなさい。

f:id:tyoki15:20200915145539p:plain

(2)では球が半分に切断されて半球になっていますね。

シンプル要約

表面積の計算に注意

切断面を足し忘れないように

(1)は公式に当てはめるだけなので大丈夫でしょう。

【球の表面積】

{ \displaystyle \Large4\pi r^2}{ \displaystyle \scriptsize\left(cm^2\right)}

【球の体積】

{ \displaystyle \Large\frac{4}{3}\pi r^3}{ \displaystyle \scriptsize\left(cm^3\right)}

重要なのは(2)のような球を切断した図形の計算です。

 

(2)の表面積は、こういう計算で終わっていませんか？

(2)半径{ \displaystyle 6cm}の半球の表面積と体積を求めなさい。

{ \displaystyle r=6}より

{ \displaystyle 4\pi \times6^2}

{ \displaystyle =4\pi \times36}

{ \displaystyle =144\pi}…[球の表面積]

{ \displaystyle 144\pi \div2=72\pi}

{ \displaystyle 72\pi cm^2}…[半球の表面積]

先に言っておくと、この答えは間違いです。

 

答えが{ \displaystyle 72\pi cm^2}になってしまったなら、一つ大事なことを見落としています。

f:id:tyoki15:20200916173407p:plain

この画像の灰色部分は半球の底面です。

 

半球の表面積を求める時は、この底面積も足し合わせなければいけません。

【半球の表面積】

半球の表面積
＝半球の側面積＋半球の底面積

 

球の表面積を半分にしただけでは、半球の曲面部分（側面積）しか求められていないんです。

 

正しい答えは下の解答・解説を確認してください。

解答・解説

(1)半径{ \displaystyle 6cm}の球の表面積と体積を求めなさい。

{ \displaystyle r=6}より

{ \displaystyle 4\pi \times6^2}

{ \displaystyle =4\pi \times36}

{ \displaystyle =144\pi}

{ \displaystyle 144\pi cm^2}…[球の表面積]

 

{ \displaystyle \frac{4}{3}\pi\times6^3}

{ \displaystyle =\frac{4}{3}\pi\times216}

{ \displaystyle =\frac{4}{3}\times216\times\pi}

{ \displaystyle =288\pi}

{ \displaystyle 288\pi cm^3}…[球の体積]

 

(2)半径{ \displaystyle 6cm}の半球の表面積と体積を求めなさい。

f:id:tyoki15:20200915145539p:plain

{ \displaystyle r=6}より

{ \displaystyle 4\pi \times6^2}

{ \displaystyle =4\pi \times36}

{ \displaystyle =144\pi}…[球の表面積]

{ \displaystyle 144\pi \div2=72\pi}

{ \displaystyle 72\pi}…[半球の側面積]

半球の底面積は半径{ \displaystyle 6cm}の円より

{ \displaystyle 6\times6\times \pi}

{ \displaystyle =36\pi}

{ \displaystyle 36\pi cm^2}…[半球の底面積]

{ \displaystyle 72\pi+36\pi=108\pi}

{ \displaystyle 108\pi cm^2}…[半球の表面積]

 

(1)より半径{ \displaystyle 6cm}の球の体積は{ \displaystyle 288\pi cm^3}より

{ \displaystyle 288\pi\div2=144\pi}

{ \displaystyle 144\pi cm^3}…[半球の体積]

なぜ大事なのか

入試において、球の表面積・体積の問題は、計算の単体問題として出題されることがほとんどです。

 

加えて、球の表面積・体積は、公式を覚えていないと解けない問題です。

 

数学が50点以下の人が真っ先に対策すべきは、計算の単体問題ですので、公式を覚えるだけで、点を取れる問題は、ぜひ覚えてしまいたいところです。

 

これが、球の表面積・体積を重視する理由です。

 

同じ理由で、定規・コンパスを使った作図問題も本当はやるべきなのですが、出題パターンが多いので今回紹介している10個の解法には入れていません。


あともう少しで解法10個をクリアです！頑張ってください！

 

数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑧平方根】

解法テクニック

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今回は平方根の計算です。

 

平方根は中3で初めて学習する範囲ですよね。

 

√（ルート）の記号に苦しめられてる人も少なくないと思います。

 

そんなみなさんに、これだけできれば十分！という単元を解説していきます。

平方根の計算

例題

平方根の計算で最低限マスターしておくべきなのは、四則演算です。

 

つまり{ \displaystyle +,-,\times,\div}が混ざった計算をできるようになることが必須です。

 

それでは例題に行ってみましょう！

次の数を{ \displaystyle a\sqrt{b}}の形にしなさい。

{ \displaystyle \left(1\right)\sqrt{18}}

{ \displaystyle \left(2\right)\sqrt{\frac{27}{16}}}

次の計算をしなさい。

{ \displaystyle \left(3\right)2\sqrt{2}\left(\sqrt{6}-\sqrt{18}\right)}

{ \displaystyle \left(4\right)\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(6\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)}

シンプル要約

{ \displaystyle \sqrt{2}\times\sqrt{2}}

{ \displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2}}

の違いをはっきりわかるようになろう

平方根の計算に苦手意識を持ちやすい要因の一つは、掛け算と足し算をごっちゃにしてしまうことです。

 

{ \displaystyle \sqrt{2}\times\sqrt{2}=\sqrt{2^2}=2}

{ \displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}}

 

この課題を克服するのに便利なコツはありません。

 

ただ、同じ問題を繰り返し解いて、掛け算と足し算を混同しないように自分の頭に馴染ませていくしかありません。

 

この例題を、問題と解答を暗記するまで反復してみてください。

 

そうすれば別の問題を解いてても、掛け算か足し算か迷うこともなく、反射的に計算ができるようになっているはずです。

解答・解説

{ \displaystyle \left(1\right)\sqrt{18}}

{ \displaystyle =\sqrt{2\times3^{2}}}

{ \displaystyle =3\sqrt{2}}

 

{ \displaystyle \left(2\right)\sqrt{\frac{27}{16}}}

{ \displaystyle =\sqrt{\frac{3^{3}}{4^{2}}}}

{ \displaystyle =\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\times3}}

{ \displaystyle =\frac{3}{4}\sqrt{3}}

 

{ \displaystyle \left(3\right)2\sqrt{2}\left(\sqrt{6}-\sqrt{18}\right)}

{ \displaystyle =2\sqrt{2}\times\sqrt{6}+2\sqrt{2}\times\left(-3\sqrt{2}\right)}

{ \displaystyle =2\sqrt{12}-6\sqrt{4}}

{ \displaystyle =2\times2\sqrt{3}-6\times2}

{ \displaystyle =4\sqrt{3}-12}

 

{ \displaystyle \left(4\right)\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(6\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)}

{ \displaystyle =18\sqrt{4}+6\sqrt{6}-6\sqrt{6}-2\sqrt{9}}

{ \displaystyle =18\times2-5\sqrt{6}-2\times3}

{ \displaystyle =36-5\sqrt{6}-6}

{ \displaystyle =30-5\sqrt{6}}

なぜ大事なのか

平方根の計算は、入試では単体問題から、関数・図形まで幅広く出題されます。

 

それが、平方根の計算をマスターすべき理由です。

 

とくに重要なのは、平方根を使った四則演算ができるようになることです。

 

平方根には、有理化や大小関係など、やや難しい計算が求められることもありますが、対策の優先は高くはありません。

 

入試や模試では、平方根の四則演算ができること前提で話が進んでいきます。

 

したがって、過去問を使った入試対策を始める前に、この単元は必ずマスターしておきましょう。

中高生は時給◯万円！？日々の勉強でお金がもらえるとしたらどうする？

モチベーション その他 入試対策

お金の画像

タイトルにもありますが、みなさんの勉強には、実は時給が発生していたことを知ってましたか？

 

しかも時給は2万円！

 

いやいや毎日勉強しているけど、お金なんてもらってないよ！

どゆこと！？

 

こう思ったみなさんに、これが一体どういうことなのか説明していきますね。

 

とくに次のような方にはこの記事がオススメです。

  • 日々の勉強に意味を見出せない
  • 受験勉強のやる気がいまいち上がらない
  • 勉強しろとうるさい親に嫌気が差している

 

記事を見ていただくことで、次のようになるはずです。

  • 勉強に対するモチベーションが上がる
  • 大人が勉強しろと言ってくる理由が少し分かる

では本題に入っていきましょう。

高卒と大卒の生涯賃金の差は6000万～8000万

賃金格差の画像

みなさんはいずれ大人になれば、何かしらの仕事をすることになります。

 

仕事を始めて、おじいちゃん・おばあちゃんになって仕事を辞めるまでの何十年という期間で稼いだお金の合計を”生涯賃金”と言います。

 

この”生涯賃金”をもっと具体的な数字で説明していきますね。

 

このデータを見てください。

正社員を60歳まで続けたときの生涯賃金

<男性>

  • 高卒…2億1000万円
  • 大卒…2億7000万円
  • 生涯賃金の差…6000万円

<女性>

  • 高卒…1億5000万円
  • 大卒…2億2000万円
  • 生涯賃金の差…7000万円

 

定年後も非正社員で働きづつけた生涯賃金

<男性>

  • 高卒…2億5000万円
  • 大卒…3億3000万円
  • 生涯賃金の差…8000万円

<女性>

  • データなし

参照:『ユースフル労働統計』

 

60歳まで正社員として仕事をした場合の生涯賃金は、高卒と大卒で6000万円〜7000万円の差があることが分かります。

 

6000万円も違うと、高級住宅が1件建っちゃいますね。

 

さらに注目したいのは、定年を過ぎてからも働き続けた場合の生涯賃金です。

 

定年後も働き続ければ、さらに1000万円以上の生涯賃金の差が生まれているのが分かります。

 

高級車が1台買えちゃいますね。

 

今後は人生100年時代と言われるように、今よりも働く期間が延びるでしょう。

高齢者の画像

そうなれば、高卒と大卒での生涯賃金の差もさらに広がっていくはずです。

 

それにしても高卒か大卒かでもらえるお金の差が6000万円以上になるって、とんでもない金額ですよね。

 

この違いは、高校で大学進学のために勉強したかどうかです。

 

これが勉強に時給が発生することのカラクリの正体です。

 

もちろん、大学に進学したからと言って必ず6000万円がもらえるわけではありません。

 

ですが、進学し大卒で就職することで自身の生涯賃金が上がる可能性を高めることができるのは事実でしょう。

高校3年間の勉強で時給は2万円

勉強の画像

では実際に高校3年間の勉強時間から時給を計算してみます。

 

一般的な国公立大学（偏差値60程度）に進学した受験生の3年間の平均勉強時間は約3500時間です。

＞受験生は1日に勉強時間がどれくらい必要なのか？志望校別に平均をまとめてみた

 

ここから勉強の時給を計算すると次のようになります。

7000万円÷3500時間=2万円

※生涯賃金差は6000~8000万円のため間をとって7000万円

毎日勉強していたとすると1日あたりの勉強時間は約3時間です。

 

つまり自主学習で3時間勉強するだけで毎日6万円を稼いでることになりますね。

 

1日で6万円ってヤバくないですか!?

中高6年間でも時給は1万円

一万円札の画像

もしこれを読んでいるあなたが中学生であっても、大学進学を意識して勉強を毎日やっているのであれば、そこには時給が発生していると考えてください。

 

より良い大学に行きたいのであれば、そもそも進学する高校から選ぶ必要がありますからね。

 

中高6年間で換算すれば、時給は1万円です。

 

今の勉強が将来の1万円を稼いでいると考えると、少しやる気が出てきませんか？

あなたが今やっている勉強は0円か2万円か

モチベーションの画像

あなたがしている勉強は、何のためにやっていますか？

 

  • 親から毎日ガミガミ言われて嫌々やってる
  • 高校を卒業できればなんでもいいや

 

こんな状態ではないですか？

 

こういう気持ちで勉強を投げ出しているとき、あなたは時給2万円の仕事を放棄していることになります。

 

もしあなたが勉強に意味を見出せなかったり、どうしてもやる気が上がらないときは、思い出してください。

 

あなたの勉強には時給が発生していることを

 

自分が本当に行きたい大学や、大学進学のために志望している高校があれば、そこを目指して全力で勉強してください。

勉強している男の子の画像

その瞬間から、あなたの勉強には時給2万円が発生します。

 

今の頑張りが将来の自分に大きな恩恵を与えてくれます。

 

ちなみに、高卒だろうが大卒だろうが将来の賃金に影響はない、と僕は考えています。

 

大卒でもニートはいます。

一方で、高卒の経営者は五万といます。

 

ですが、それが今あなたが勉強をしなくてもいい理由にはなりません。

 

”今”を努力できるようになりましょう。

 

そのとき、あなたは本当の意味で時給2万円を手にするでしょう。

数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑦直線の式】

解法テクニック

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一次関数・直線の式

一次関数の中でも、直線の式の求め方に絞って解説をしていきます。

 

後ほど詳しく説明しますが、直線の式の求め方は、

 

入試や模試に直結する力を付けるための絶好の単元です。

 

この単元をマスターすることで、数学の解き方に新たな視点が身につくはずです。

例題

{ \displaystyle \left(1\right)}変化の割合が{ \displaystyle -4}で{ \displaystyle \left(x,y\right)=\left(-1,6\right)}を通る直線の式を求めなさい。

{ \displaystyle \left(2\right)}グラフ{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x+5}と平行で、{ \displaystyle y}軸上の点{ \displaystyle \left(0,-1\right)}を通る一次関数のグラフを答えなさい。

{ \displaystyle \left(3\right)}{ \displaystyle \left(x,y\right)=\left(-1,-1\right),}{ \displaystyle \left(2,11\right)}を通るとき、{ \displaystyle y}を{ \displaystyle x}の式で表しなさい。

どうでしょうか。

 

どれも見たことがあるパターンだと思います。

シンプル要約

一次関数・直線の式のシンプル要約はコチラ⬇︎

とりあえず

{ \displaystyle y=ax+b}

とおこう

 

直線の式を求める問題では、決まったフレーズが用いられます。

  • 直線の式
  • 一次関数のグラフ
  • { \displaystyle y}を{ \displaystyle x}の式で表す

このようなフレーズがあったときは、迷わず{ \displaystyle y=ax+b}と書きましょう。

 

そして{ \displaystyle a,b}の値を求める計算をすることで直線の式を求めましょう。

 

また、問題を解くときは下記を参考にしてみてください。

これは、問題文の日本語を数式や値に”翻訳”したものです。

＊傾きが{ \displaystyle -2}

→ { \displaystyle a=-2}

＊切片が{ \displaystyle -2}

→ { \displaystyle b=-2}

＊変化の割合が{ \displaystyle -2}

→ { \displaystyle a=-2}

＊{ \displaystyle y}軸上の点{ \displaystyle \left(0,-2\right)}を通り

→ { \displaystyle b=-2}

＊{ \displaystyle y=-2x+6}と平行

→ { \displaystyle a=-2}

(平行な直線は傾きが一緒)

＊グラフが点{ \displaystyle \left(2,-3\right)}を通り

→ { \displaystyle y=ax+b}に{ \displaystyle x=2,y=-3}を代入する

解答・解説

※スマホの方は横スクロールで全部見れます。

{ \displaystyle \left(1\right)}{ \displaystyle y=-4x+2}

「直線の式を求めなさい」 → { \displaystyle y=ax+b}とおく

「変化の割合が{ \displaystyle -4}で」 → { \displaystyle a=-4}

「{ \displaystyle \left(x,y\right)=\left(-1,6\right)}を通る」 → { \displaystyle y=ax+b}に{ \displaystyle x=-1,y=6}を代入

上記の条件より

{ \displaystyle y=ax+b}は

{ \displaystyle 6=\left(-4\right)\times\left(-1\right)+b}になる。

これを計算して{ \displaystyle b=2}

したがって求める直線の式は

{ \displaystyle y=-4x+2}

 

{ \displaystyle \left(2\right)}{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x-1}

「一次関数のグラフを答えなさい」 → { \displaystyle y=ax+b}とおく

「グラフ{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x+5}と平行で」 → { \displaystyle a=-\frac{3}{2}}

「{ \displaystyle y}軸上の点{ \displaystyle \left(0,-1\right)}を通る」 → { \displaystyle b=-1}

上記の条件より

{ \displaystyle y=ax+b}は

{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x-1}

したがって求める直線の式は

{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x-1}

 

{ \displaystyle \left(3\right)}{ \displaystyle y=4x+3}

{ \displaystyle y}を{ \displaystyle x}の式で表しなさい → { \displaystyle y=ax+b}とおく

{ \displaystyle \left(x,y\right)=\left(-1,-1\right),}{ \displaystyle \left(2,11\right)}を通るとき

→ { \displaystyle y=ax+b}に{ \displaystyle x=-1,y=-1}および{ \displaystyle x=2,y=11}を代入

上記の条件より

{ \displaystyle y=ax+b}は

{ \displaystyle -1=-a+b}…①

{ \displaystyle 11=2a+b}…②

①と②を{ \displaystyle a}と{ \displaystyle b}の連立方程式で解いて

{ \displaystyle a=4,b=3}

したがって求める直線の式は

{ \displaystyle y=4x+3}

なぜ大事なのか

直線の式は、この10個の解放シリーズの中でも特に重要です。

 

なぜ重要なのか。

 

数学の翻訳力を使うから

 

これが理由です。

 

数学の翻訳力とは何かというと、

文章から数式や条件を引き出す力

です。

 

例えば、例題(2)の

グラフ{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x+5}と平行で

このフレーズを見て、

”平行”ということは傾きがグラフと一緒ということだから

 

直線の式の傾きは{ \displaystyle -\frac{3}{2}}

となれるかどうか、ということです。

 

入試や模試は、

  • 初見の問題
  • 応用が必要
  • 文章題が多い 

という特徴がありますよね。

 

数学の翻訳力があれば、これらを克服できます。

 

このように数学の翻訳力を育てることで、

 

入試や模試に強くなる

 

という恩恵があるわけですね。

数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑥おうぎ形】

解法テクニック

アイキャッチ画像

おうぎ形

おうぎ形の問題で出題されるのは次の3パターンです。

  1. おうぎ形の中心角
  2. おうぎ形の面積
  3. 弧の長さ

例題をやって、この3パターンに対応できるようにしていきましょう。

例題

次の問いに答えなさい。

{ \displaystyle \left(1\right)}半径が{ \displaystyle 15cm}、弧の長さが{ \displaystyle 6\pi cm}のおうぎ形の中心角を求めなさい

 

{ \displaystyle \left(2\right)}半径{ \displaystyle 5cm}、中心角{ \displaystyle 72°}のおうぎ形の面積を求めなさい

 

{ \displaystyle \left(3\right)}半径{ \displaystyle 8cm}、中心角{ \displaystyle 135°}のおうぎ形の弧の長さを求めなさい

シンプル要約

おうぎ形のシンプル要約はコチラ⬇︎

おうぎ形は円の一部と考える

円：おうぎ形＝360°：中心角

おうぎ形というのは、ホールケーキをカットしたショートケーキのように、円の一部だと考えましょう。

ケーキの画像

 

おうぎ形を円の一部と考えることで、比の計算を応用することができます。

円：おうぎ形＝360°：中心角

おうぎ形を比の計算で表した画像

 

学校で習っているおうぎ形の計算は、こうですよね？

円周率：{ \displaystyle \pi}、半径：{ \displaystyle r}、中心角：{ \displaystyle a} とすると

おうぎ形の面積{ \displaystyle S}

{ \displaystyle S=\pi r^2\times\frac{a}{360}}

弧の長さ{ \displaystyle \ell}

{ \displaystyle \ell=2\pi r\times\frac{a}{360}}

 

実はこの公式も

円：おうぎ形＝360°：中心角

これを応用したに過ぎません。

 

暗記が苦手な人は、比で覚えましょう。

解答・解説

{ \displaystyle \left(1\right)}中心角{ \displaystyle 72°}

おうぎ形の中心角を{ \displaystyle a°}とする。

半径{ \displaystyle 15cm}ということは

円周は{ \displaystyle 15cm\times2\times\pi =30\pi cm}

よって円とおうぎ形の比を考えると


{ \displaystyle 30\pi :6\pi =360:a}

{ \displaystyle 30\pi a=2160\pi}

{ \displaystyle a=\frac{2160\pi}{30\pi}}

{ \displaystyle a=72}

中心角{ \displaystyle 72°}

 

{ \displaystyle \left(2\right)}おうぎ形の面積{ \displaystyle 5\pi cm^2}

おうぎ形の面積を{ \displaystyle Scm^2}とする。

半径{ \displaystyle 5cm}ということは

円の面積は{ \displaystyle 5cm\times5cm\times\pi =25\pi cm^2}


よって円とおうぎ形の比を考えると


{ \displaystyle 25\pi :S=360:72}

{ \displaystyle 360S=1800\pi}

{ \displaystyle S=5\pi}

おうぎ形の面積{ \displaystyle 5\pi cm^2}

 

{ \displaystyle \left(3\right)}弧の長さ{ \displaystyle 6\pi cm}

おうぎ形の弧の長さを{ \displaystyle \ell cm}とする

半径{ \displaystyle 8cm}ということは

円周は{ \displaystyle 8cm\times2\times\pi =16\pi cm}


よって円とおうぎ形の比を考えると


{ \displaystyle 16\pi :\ell =360:135}

{ \displaystyle 360\ell =2160\pi}

{ \displaystyle \ell =6\pi}

弧の長さ{ \displaystyle 6\pi cm}

なぜ大事なのか

おうぎ形の計算が大事な理由はこの2つです。

  • 入試で計算問題としても出題される
  • 空間図形の単元でも使う

入試では、例題のような問題が単問で出題されることがあります。

 

こういった単問は簡単にもかかわらず配点が高いです。

 

そこは確実に点を取っておきたいですよね。

 

空間図形でも、次のような問題としておうぎ形を使うことがあります。

出典：『中学 自由自在 数学: 基礎から難関校受験まで』

上の問題のように円錐の問題とセットで出題されることが多いですね。

数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑤比の計算】

解法テクニック

アイキャッチ画像

「比の計算なんてやり方カンタンだし余裕だよ！」

 

と思っているあなた。

 

本当にそうですか？

 

比の問題の難しいところは、文章題です。

 

{ \displaystyle a:b=c:d}を方程式にすると

 

内側と外側を掛けて{ \displaystyle ad=bc}になることは分かるでしょう。

{ \displaystyle a:b=c:d}のとき

{ \displaystyle ac=bd}もしくは{ \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}}

 

難しいのは、文章を読んで{ \displaystyle a,b,c,d}がどれを指すのか明確にすることです。

 

今回は、比の計算を文章題でもカンタンに解けるようなコツをお伝えします。

 

この記事を読んでもらえれば、複雑な文章題でもできるようになるはずです。

比の計算

今回やっていくのは比の計算ですが、計算問題だけではありません。

 

文章題もやっていきましょう。

 

比の計算は文章題で解けるようになって真価を発揮します。

 

実は一次関数や連立方程式など、色んな場面で比の計算は応用できるんです。

 

比の計算や考え方を自在に使えるように慣れば、文章題が一気に楽になりますよ。

 

では早速例題にいってみましょう！

例題

次の式に適する{ \displaystyle x}の値を求めなさい。

{ \displaystyle \left(1\right)4:3=16:x}

{ \displaystyle \left(2\right)4:3=6:x}

次の問いに答えなさい。

{ \displaystyle \left(3\right)}花子さんと太郎くんの体重差は{ \displaystyle 1:2}です。花子さんの体重が{ \displaystyle 40kg}のとき太郎くんの体重はいくらですか？

{ \displaystyle \left(4\right)}男女比が{ \displaystyle 4:5}のクラスは{ \displaystyle 36}人です。男子の人数は何人ですか？

{ \displaystyle \left(5\right)}自動車{ \displaystyle A}が{ \displaystyle 360m}進む時、自転車{ \displaystyle B}は{ \displaystyle 150m}進みます。自転車{ \displaystyle B}が{ \displaystyle 250m}進んだとき自動車{ \displaystyle A}は何{ \displaystyle m}進んでいますか？

今回は5問と問題が多めですが、頑張って解いてみましょう！

シンプル要約

比の計算の文章題は

ボックスで考えよう

{ \displaystyle a:b=c:d}の場合

比の計算のポイント画像

⬆︎ボックスを使う

ボックスを書いたあとは、項目Ⅰと項目Ⅱを埋めるだけです。

 

各項目を埋めれば、{ \displaystyle a,b,c,d}は自然と決まってきます。

 

試しに(3)をこのボックスに当てはめてみますね。

比の計算のポイント画像

項目Ⅰ…花子さんの体重

項目Ⅱ…太郎くんの体重

⬆︎こんな感じです。

 

このボックスを元にして式を組み立てていくと

{ \displaystyle 1:2=40:\Box}

{ \displaystyle \Box=80}

となり、答えは{ \displaystyle 80kg}となります。

 

ボックスを使うやり方は文章が長くて複雑になる程、使えるので色んな問題で使ってみてください。

解答・解説

{ \displaystyle \left(1\right)4:3=16:x}

{ \displaystyle 4x=48}

{ \displaystyle x=12}

 

{ \displaystyle \left(2\right)4:3=6:x}

{ \displaystyle 4x=18}

{ \displaystyle x=\frac{18}{4}}

{ \displaystyle x=\frac{9}{2}}

 

{ \displaystyle \left(3\right)}太郎くんの体重{ \displaystyle 80kg}

花子さんの体重：太郎くんの体重

{ \displaystyle =40kg:\Box kg}

{ \displaystyle =1:2}

つまり{ \displaystyle 40:\Box =1:2}

{ \displaystyle \Box =80}

比の計算のポイント画像

 

{ \displaystyle \left(4\right)}男子{ \displaystyle 16}人

男子を{ \displaystyle x}人とすると

女子は{ \displaystyle \left(36-x\right)}人

男女比が{ \displaystyle 4:5}なので

{ \displaystyle 4:5=x:\left(36-x\right)}

{ \displaystyle 5x=4\left(36-x\right)}

{ \displaystyle 5x=144-4x}

{ \displaystyle 5x+4x=144}

{ \displaystyle 9x=144}

{ \displaystyle x=16}

比の計算のポイント画像

 

{ \displaystyle \left(5\right)}自動車{ \displaystyle A}は{ \displaystyle 600m}進んでいる

自動車{ \displaystyle A}が{ \displaystyle 360m}進むとき、自転車{ \displaystyle B}は{ \displaystyle 150m}進むので

自動車{ \displaystyle A}:自動車{ \displaystyle B}

{ \displaystyle =360:150}

{ \displaystyle =12:5}

自転車{ \displaystyle B}が{ \displaystyle 250m}進んだときのことを考えると

自動車{ \displaystyle A}：自転車{ \displaystyle B}

{ \displaystyle =\Box :250m}

{ \displaystyle =12:5}

つまり{ \displaystyle \Box:250=12:5}

{ \displaystyle 5\Box =3000}

{ \displaystyle \Box =600}

比の計算のポイント画像

なぜ大事なのか

比の計算は、計算テクニックの武器として、自由自在に使えるようにしましょう。

 

これも入試問題で計算問題として出てくることは少ないです。

 

ですが文章題の問題で、比率の考え方を応用すればカンタンに解ける問題も多いです。

 

しっかり復習しておきましょうね。